Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.ProcesyMarkowa
czasusumawszystkichprawdopodobieństwstanujestrównajedności:
Σ
i=o
V
pi(t)=1
11
(2.36)
Napodstawiediagramudanegoprocesumożnaokreślićwszystkieprawdopodobień-
stwastanupi(t)wfunkcjiczasut.Wtymceluzestawiasięirozwiązujetzw.równania
Chapmana-Kołmogorowa[30],wskrócienazywanerównaniamiKołmogorowa.Sątorówna-
niaróżniczkowe,wktórychniewiadomymifunkcjamisąprawdopodobieństwaprzebywania
systemuwstanachokreślonychprzezdyskretnyprocesMarkowazciągłymczasem.
RównaniaKołmogorowawwiązcepełnodostępnej
PrzedstawimyterazproceszestawianiatakichrównańnaprzykładziewiązkizłożonejzV
łączy,którejdiagramstanówpokazanonarys.2.1.Załóżmy,żeprawdopodobieństwostanu
po(t)jestznaneizastanówmysię,jakiejestprawdopodobieństwozdarzenia,żepoupły-
wieczasuΔtsystemnadalbędziesięznajdowałwstanien0”,czyliprawdopodobieństwo
po(t+Δt).Możliwesądwascenariusze,którepowodują,żewmomenciet+Δtsystem
będziewstanien0”(związaneznimistrumieniezaznaczononarys.2.2ciągłąlinią).
—Systemwmomencietbyłwstanien0”iwczasieΔtniezmieniłtegostanu.System
mógłbyprzejśćdostanun1”wmomenciepojawieniasięnowegozgłoszenia.Prawdopo-
dobieństwopojawieniasięzgłoszeniawprzedzialeΔtjestprawdopodobieństwemele-
mentarnymizgodniezewzorem(2.1)wynosiAΔt.Zatemprawdopodobieństwozdarze-
nia,żewprzedzialeΔtniepojawisiężadnenowezgłoszenieisystempozostaniewstanie
n0”,wynosi1−AΔt.
1
−
λ
Δ
t
0
λ
µ
Δ
Δ
t
t
1
Rys02020Określenieprawdopodobieństwap0(t)
—Systemwmomencietbyłwstanien1”iwprzedzialeczasuΔtprzeszedłdostanun0”.
Strumieńprzenoszącysystemzestanun1”dostanun0”jeststrumieniemobsługiointen-
sywnościp.Jesttorównieżstrumieńnajprostszy,zatemprawdopodobieństwopojawienia
sięnowegozdarzeniawprzedzialeΔtjestprawdopodobieństwemelementarnymiwy-
nosipΔt(wzór(2.22)).
Pododaniuprawdopodobieństwdwóchprzedstawionychscenariuszyotrzymujesięprawdo-
podobieństwopo(t+Δt):
po(t+Δt)=po(t)[1−AΔt]+p1(t)pΔt
(2.37)
Przenoszącpo(t)nalewąstronęidzielącobiestronyrównania(2.37)przezΔt→0,otrzy-
mujesięnastępującerównanieróżniczkowe:
dpo(t)
dt
=−Apo(t)+pp1(t)
(2.38)
