Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2010Analitycznemetodywyznaczaniaekstremów
PRZYKŁAD203
9
Wyznaczymyhesjanfunkcjif(x17x2)=x2
1x2
2+2x1x2wpunkcieX=(271).Obliczmy
najpierwposzczególnepochodnefunkcjif:
∂x1
∂f
=2x1x
2+2x27
2
∂x2
∂f
=2x2
1x2+2x1.
Pochodnecząstkowedrugiegorzędufunkcjifwynoszą:
∂2f
∂x2
1
=2x2
27
∂x1∂x2
∂2f
=
∂x2∂x1
∂2f
=4x1x2+27
∂2f
∂x2
2
=2x2
17
stąd,namocywzoru(2.7),hesjanprzyjmujepostać:
H(X)=[2x
4x1x2+2
2
2
4x1x2+2
2x2
1
].
Terazpodstawiamyx1=27x2=1iotrzymujemyhesjanwpunkcie(271):
H(271)=[210
108].
HesjanmożezostaćwykorzystanydoweryfikacjiczywpunkcieX∗jestminimum,
czyteżmaksimumlokalne.Mówiotymtwierdzenie2.4podającewarunekwystarczają-
cynaistnienieekstremumfunkcjiwieluzmiennych.
TWIERDZENIE204
Niechfunkcjaciągłaf:Rn→Rmawszystkiepochodnecząstkowerzędudru-
giego,któredodatkowosąciągłe.Załóżmyrównież,że∇f(X∗)=0.
1.JelimacierzH(X∗)jestdodatniookrelonaa,tofunkcjafosiągaminimum
lokalnewpunkcieX∗.
2.JelimacierzH(X∗)jestujemnieokrelona,tofunkcjafosiągamaksimum
lokalnewpunkcieX∗.
3.JelimacierzH(X∗)niejestaniujemniepółokrelona,anidodatniopół-
okrelona,tofunkcjafniemaekstremumwpunkcieX∗.
aMetodębadaniaokrelonocimacierzyomówionowpunkcie11.3.4.
JeżelimacierzH(X∗)jestujemniepółokrelona,aleniejestujemnieokrelona,to
niemożnaautomatyczniestwierdzić,czywX∗jest,czyteżniemaekstremum.
Obiesytuacjemogąmiećmiejsce.Tosamodotyczydodatniejokrelonociipół-
okrelonoci.