Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
20Podstawyoptymalizacji
Wtwierdzeniach2.3i2.4wystarczyzałożyćciągłoćpochodnychcząstkowychje-
dynielokalnie,wpewnymotoczeniupunktuX∗.Funkcjafmożebyćteżokrelona
tylkonapewnympodzbiorzeRn.
Jeżelif:R→R,toH(x)=[f′′(x)].Zatem,abysprawdzićczywpunkcie
x∗,dlaktóregof′(x∗)=0,jestekstremum,wystarczyzweryfikowaćznakdrugiej
pochodnejf′′(x∗).
2020Ekstremaglobalne
Przedstawimyterazkilkaważnychfaktówzwiązanychzposzukiwaniemekstremówglo-
balnych,czylipunktówspełniającychdefinicjęekstremumlokalnegozestałąh0=+∞
(wzory(2.4)i(2.5)).Wszczególnoci,podamytwierdzeniaokrelającesytuacje,wktó-
rychmożnajednoznaczniestwierdzić,żeekstremumglobalneistnieje.Głównyproblem
poleganatym,żewwiększociproblemówpraktycznychzałożeniaprzytaczanychtwier-
dzeńniesąspełnionelubteżniemamożliwociichsprawdzenia.
Definicja203
ZbiórE⊂Rnnazywamydomkniętym,gdyzawierawszystkieswojepunktysku-
pienia,czyligdygranicadowolnegozbieżnegociągupunktówzbioruEtakżedo
niegonależy.
Definicja204
Mówimy,żezbiórE⊂Rnjestograniczony,gdyistniejekulaopromieniurza-
wierającacałyzbiórE(tzn.istniejer>0takie,że||X||2<rdlakażdegoX∈E).
NastępującetwierdzenieWeierstrassapodajewarunekgwarantujący,żedanafunkcja
posiadaekstremumglobalne.
TWIERDZENIE205(twierdzenieWeierstrassa)
Jeżelifunkcjaf:Xd→Rjestciągła,azbiórXd⊂Rnjestniepusty,domknięty
iograniczonywRn,toistniejeminimumimaksimumglobalnefwzbiorzeXd.
Inaczejmówiąc,istniejąpunktyX∗7X∗∗∈Xdtakie,że
f(X∗)=min
f(X)
i
f(X∗∗)=max
f(X).
X∈Xd
X∈Xd