Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
20Podstawyoptymalizacji
16A2116A+2≤4A+27
16A2116A≤07
A21A≤07
A(A11)≤0.
OstatnianierównoćjestzawszeprawdziwadlawszystkichA∈[071].
Otrzymanywynikoznacza,żeodcinekłączącypunkty(y7f(y))i(z7f(z))znajdujesię
ponadwykresemfunkcjif(coznajdujepotwierdzenienarysunku2.6).Jesttojednakprzypa-
dekszczególnyinapodstawieprzeprowadzonychobliczeńdlakońcówprzedziałuniemoż-
nauogólniaćtychwynikównapozostałepunkty.Abyzapomocądefinicji2.6uzasadnić,
żefunkcjafjestwypukła,należałobywyprowadzićpodobneoszacowaniedlawszystkich
y7z∈[074]orazdowolnegoA∈[071](aniejaktozrobilimy,tylkodlay=0iz=4).
Wymagałobytooczywiciewiększegonakładupracy(pomimotego,żenarysunku2.6wy-
raźniewidać,żeodcinekłączącydowolnedwapunktywykresubędziezawartywobszarze
nadwykresem).
Przykładtenpokazuje,żesprawdzaniewypukłocifunkcjijedyniezwykorzysta-
niemdefinicjijesttrudne.Wykonanietegozadaniaułatwiajątwierdzenia2.6–2.8.
TWIERDZENIE206
Jelifunkcjaf:R→Rjestdwukrotnieróżniczkowalnawprzedziale(a7b),to
nato,abybyłaonawypukła(wklęsła)wtymprzedziale,wystarczy,abyf′′(x)>0
(odpowiedniof′′(x)<0)dladowolnegoargumentux∈(a7b).
TWIERDZENIE207
Jelifunkcjaf:Rn→Rjestformąkwadratową,tonato,abyfbyławypu-
kła,wystarczy,abybyładodatniookrelona.Identycznie,fjestwklęsła,gdyjest
ujemnieokrelona(zob.punkt11.3.3).
Pojęciawypukłociiwklęsłocimajązastosowanieprzywyznaczaniuminimumglo-
balnegofunkcjicelu,oczymmówinastępującetwierdzenie.
TWIERDZENIE208
Jeżelirozwiązanieoptymalneistnieje(np.gdyspełnionesązałożeniatwierdze-
nia2.5Weierstrassa),ijeżelizbiórX⊂Rnjestwypukły,afunkcjaceluf:
X→Rjestcilewypukła(cilewklęsła),tofunkcjafmatylkojednomi-
nimum(maksimum)lokalneX∗,którejestjednoczenieminimum(maksimum)
globalnym.