Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
Wstęp
równaniaokreślonetylkodlat>0.Możesięzdarzyć,oczywiściewszczególnych
przypadkach,żerównieżdlat<0rozwiązanierównaniaróżniczkowegobędzie
miałotakąsamąpostać,takjednakniemusibyćdlakażdegorównania.
Dziękiłatwemuprzenoszeniufunkcjizdziedzinyzmiennejrzeczywistejwdzie-
dzinęzmiennejzespolonejiodwrotnietransformataLaplace’awykorzystywana
jestm.in.doanalizyobwodówelektrycznych.Każdyzelementówobwodumaswój
odpowiednikwdziedziniezmiennejzespolonej5.MetodatransformatyLaplace’a
jestszczególniewygodnaprzyanaliziestanównieustalonych.
WśródinnychzastosowańtransformatyLaplace’amożnaznaleźćopislinio-
wychukładówsterowania.Układytesąopisanezapomocąukładówrównań,
awszczególnościrównańróżniczkowych,stądwyraźnazaletaprzekształcaniaLa-
place’awopisietejklasysystemów.
TransformataLaplace’ajestkorzystnaprzybadaniuliniowych,stacjonarnych
układówciągłychwczasie.Dziękiniejmożliwejestprzekształcenierównańróż-
niczkowychwrównaniaalgebraiczne,coupraszczaanalizęisyntezęukładów.
TransformataZstanowidyskretnyodpowiedniktransformatyLaplace’a—jest
toprzekształcenie,którezpewnegociągupróbekf[n]pozwalautworzyćfunkcję
zmiennejzespolonejz.Stądmożliwośćzamianyrównaniaróżnicowegoukładuna
równaniaalgebraicznezmiennejzespolonejz.
Możnawięcpowiedzieć,żetransformataZjestszczególnymprzypadkiem
transformatyLaplace’a,gdziezamiastoperatora5wstawiononowązmienną,któ-
rajestużytecznawukładachzczasemdyskretnym,igdzietransformataLaplace’a
dawałabyrozwiązaniewpostaciszeregupotęgowego.NatomiasttransformataZ
umożliwiaprzedstawienietegoszereguwpostacialgebraicznej(wielomianuzmien-
nejz)idlategowygodniejszejdocelówanalizywukładachzczasemdyskretnym.
Istniejekilkamożliwościprzekształceniafunkcjizmiennej5nafunkcjęzmiennejz.
TransformataFourieramaszczególneznaczeniewprzypadkuanalizysygna-
łówokresowych.Oczywiście,podobniejakwprzypadkutransformatyLaplace’a,
równieżtransformatęFourieramożnawykorzystaćdorozwiązywanialiniowych
równańróżniczkowych,jednakwtymprzypadkuwykorzystujesiędużołatwiej-
szeprzekształcenieLaplace’a.PrzekształcenieFourierapozwalanaprzeniesienie
badanegosygnałuzdziedzinyzmiennejrzeczywistejwdziedzinęzmiennejzespo-
lonej—pozwalamianowicieprzekształcićfunkcjęzpostaciczasowejwpostać
częstotliwościową(lubpulsacyjną).
WprzypadkutransformatyFourieramamydoczynieniazanalogowym
(wprzypadkutransformatyciągłej)lubcyfrowym(wprzypadkutransformaty
dyskretnej)przetwarzaniemsygnałów.Obróbkasygnałówmanacelupoprawienie
jakości(czyteżpewnychwłasności)badanegosygnału.Przekształceniedanejfun-
kcji,zapomocątransformatyFouriera,zdziedzinyczasuwdziedzinęczęstotliwo-
ścipozwalaodczytaćamplitudęifazęposzczególnychskładowychharmonicznych
sygnału.DonajbardziejpopularnychzastosowańprzekształceniaFourieranależą
przetwarzaniedźwięku(np.kompresjaMP3),cyfroweprzetwarzanieobrazu(np.
kompresjaJPEG),filtracjasygnału(np.odszumianiesygnału),filtracjaobrazu.
