Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1BADAMYZBIORYIRELACJE
Otrzymujemyzatemtożsamość,którąpragnęliśmyudowodnić:
A÷(B÷C)=[(A÷B)ΠC′]∪[(A÷B)′ΠC]=(A÷B)÷C.
Tożsamośćb)
Dowód(1.1.17)jestznacznieprostszy.Składasięnaniegoponiższyciągprze-
kształceń:
AΠ(B÷C)=AΠ[(BΠC′)∪(B′ΠC)]
(1.1.31)
=[AΠ(BΠC′)]∪[AΠ(B′ΠC)]=[(AΠB)ΠC′]∪[(AΠC)ΠB′]
=[(AΠB)Π(C′∪A′
)]∪[(AΠC)Π(B′∪A′
)].
↑
↑
Przekształceniatesąjasne.Wyjaśnieniawymagajedyniedopisaniezbioru
A′wmiejscachoznaczonychstrzałkami.Otóżzbiór(AΠB)jestpodzbiorem
zbioruA,więcmazeroweprzecięciezjegodopełnieniem:(AΠB)ΠA′=∅.
Podobnie(AΠC)ΠA′=∅.Oznaczato,żewzaznaczonychmiejscachdopi-
saliśmypoprostuzbiorypuste.
Abyzakończyćdowód,wystarczywykorzystaćpierwszeprawodeMor-
gana(1.1.21),poczymzwinąćwyrażenie(1.1.31):
AΠ(B÷C)=[(AΠB)Π(CΠA)′]∪[(AΠC)Π(BΠA)′]
(1.1.32)
=[(AΠB)\(CΠA)]∪[(AΠC)\(BΠA)]=(AΠB)÷(AΠC).
Tożsamośćb)zostaławtensposóbwykazana.
Tożsamośćc)
Wostatnimprzypadkuprzekształcimywyrażeniepolewejstronie,najpierw
korzystajączdefinicji(1.1.15):
A÷B=(A\B)∪(B\A)=(AΠB′)∪(BΠA′)j
(1.1.33)
anastępniezrozdzielnościsumyzbiorówwzględemczęściwspólnej(1.1.3)
orazzprawadeMorgana(1.1.21),otrzymując
A÷B=(A∪B)Π(A∪A′)
\
\f
/
Π(B′∪B)
\
\f
/
Π(B′∪A′)=(A∪B)Π(B′∪A′)
X
X
=(A∪B)Π(BΠA)′=(A∪B)\(AΠB)j
(1.1.34)
cokończydowód.
Wtegotypuprzykładachgłównatrudnośćpoleganawyborzeprzekształ-
ceń,jakichzdecydujemysiędokonywaćnateoriomnogościowychwyrażeniach.
Naogółbowiemmogąbyćonewykonywanenabardzowielesposobów.Rada,
jakiejmożnatuudzielić,jesttaka,abyzawszemiećwpamięcicel,doktórego
