Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1BADAMYZBIORYIRELACJE
1.4
Sprawdzamy,czyRjestrelacjąrównoważności,
szukamyklasabstrakcjiisporządzamywykres
Problem1
Zbadamy,czyrelacjazdefiniowanawzorem:
R={(x,y)∈Z2|(x−4y)/3∈Z}
(1.4.1)
jestrelacjąrównoważności.Jeślitak,toznajdziemyklasyabstrakcji.
Sporządzimywykresrelacji.
Rozwiązanie
Jakwiemyzwykładuanalizy,relacjaRwzbiorzeXjestpoprostupod-
zbioremiloczynukartezjańskiegoX×X:
R⊂X×X.
Jeśliweźmiemyparęelementówtegozbioru,np.aib,tomówimy,żepozostają
onewrelacji,jeśli(ajb)∈R.UżywasiętakżenotacjiaRb.Trzebanaturalnie
pamiętać,żejeślipara(ajb)należydotakiegopodzbioru,towcalejeszcze
nieoznacza,żerównieżpara(bja)doniegonależy.Relację,dlaktórejten
warunekjestjednakspełniony,nazywamysymetryczną.aRbnieoznaczawięc
wogólnościtegosamegocobRa.
Wmatematyce,aletakżewfizyce,szczególnieważnąrolęodgrywajątzw.
relacjerównoważności.Przypomnimyponiżejstosownądefinicję.RelacjęR
nazywamyrelacjąrównoważnościwtedyitylkowtedy,gdyspełniaonatrzy
warunki:
1.Dlakażdegox∈Xzachodzi:(xjx)∈R.Relacjęotejwłasnościnazy-
wamyzwrotną.
2.Dlakażdychxjy∈Xprawdziwajestimplikacja:
(xjy)∈R
=⇒
(yjx)∈R.
(1.4.2)
Jakwspominaliśmywyżej,wtakimprzypadkumówimyorelacjisyme-
trycznej.
3.Dlakażdychxjyjz∈Xmamy:
(xjy)∈R∧(yjz)∈R
=⇒
(xjz)∈R.
Relacjatakajestprzechodnia.
(1.4.3)
