Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1WYKAZUJEMYPROSTETOŻSAMOŚCI
17
względemsumy,anastępniezłącznościsumy:
A′Π[(BΠC′)∪(B′ΠC)]=[A′Π(BΠC′)]∪[A′Π(B′ΠC)]
=(A′ΠBΠC′)∪(A′ΠB′ΠC).
(1.1.27)
Wstawimyterazpoprawejstronie(1.1.23)otrzymanepowyżejwzory:
A÷(B÷C)=(AΠB′ΠC′)
∪(AΠCΠB)∪(A′ΠBΠC′)
∪(A′ΠB′ΠC).
1111111111
1111111111
(1.1.28)
Otrzymaliśmywyrażenie,którejestsumączterechzbiorów.Dwaznich
zostałypodkreśloneibędzieonichmowaniżej.Niejesttojeszczekońcowy
wynik,alebardziejwprawneokomogłobyjużwtymmiejscuuznaćdowód
właściwiezazakończony.Dlaczego?Otóżdlatego,żepoprawejstroniemamy
pełnąsymetrięwzględemdowolnejzamianynazwzbiorówA,BiC.Ponadto
zsamejswojejdefinicjioperacja÷jestprzemienna.Dlategoteż(polewej
stronie)wmiejsceA÷(B÷C)moglibyśmyrówniedobrzenapisać(B÷C)÷A,
anastępnie,posługującsięwspomnianąsymetrią,łatwouzasadnilibyśmy,
żewyrażenietomusibyćrównetakże(A÷B)÷Citymsamymspełniona
jestrówność(1.1.16).
Myjednakpostąpimywzapowiedzianywcześniejsposóbitakpogrupu-
jemywyrazyw(1.1.28),abyotrzymaćtezę.Powstajepytanie,jaknależyto
zrobić.Odpowiedźnaniejestprosta:nnależytozrobićtak,abyotrzymać
tezę”,cooznaczapoprostuuzyskanieprawejstronyrównania(1.1.16),czyli
(A÷B)÷C.Czymożemydostrzecw(1.1.28)fragmentytegowyrażenia?
Otóżtak,jeśliprzypomnimysobie,iżA÷B=(AΠB′)∪A′ΠB).Wpodkre-
ślonychwyrazachwystępująwłaśnieteposzukiwanefragmenty,aC′będzie
możnapoprostunwyłączyćprzednawias”.Wpozostałychdwóchwyrazach
przednawiaswyłączyćbędziemożnaC.Otrzymujemy:
A÷(B÷C)
(1.1.29)
=(AΠB′ΠC′)∪(A′ΠBΠC′)∪(AΠCΠB)∪(A′ΠB′ΠC)
={[(AΠB′)∪(A′ΠB)]ΠC′}∪{[(AΠB)∪(A′ΠB′)]ΠC}
=[(A÷B)ΠC′]∪{[(AΠB)∪(A′ΠB′)]
ΠC}.
11111111111111
Widać,żejesteśmyjużprawieuceluipotrzebnenamjestjedynieuzasad-
nienie,żepodkreślonewyrażenieto(A÷B)′.Jesttakrzeczywiście,bowiem
(A÷B)′
(1.1.30)
=[(AΠB′)∪(A′ΠB)]′=(AΠB′)′Π(A′ΠB)′=(A′∪B)Π(A∪B′)
=(A′ΠA)
\
\f
/
∪(A′ΠB′)∪(BΠA)∪(BΠB′)
\
\f
/
=(A′ΠB′)∪(BΠA).
∅
∅
