Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3ZNAJDUJEMYKRESYZBIORÓWLICZBOWYCH
27
Rozwiązanie
Wpierwszejkolejnościzajmiemysiękresemgórnymzbioru.Abyzbiór
liczbowymógłmiećkresy(górnyczydolny),toprzedewszystkimmusibyć
ograniczony(odpowiedniozgórybądźzdołu).Powstajezatempytanie,czy
naszzbiórjestograniczonyzgóry.Abytosprawdzić,przekształcimywyra-
żenienaelementxwnastępującysposób:
x=
3|y|−1
5|y|+1
=
3|y|+3/5−8/5
5|y|+1
=
3
5
−
5(5|y|+1)
8
<
3
5
.
(1.3.2)
Taostatnianierównośćjestoczywiścienostra”,copóźniejokażesięważne.
Zotrzymanegooszacowaniawynika,żezbiórXjestograniczonyzgóry,bo
niezależniejakiewartościpodstawiaćbędziemypody,otrzymanewyrażenie
zawszebędziemniejszeod3/5.
Powstajepytanie,czyliczbatajesttakżekresemtegozbioru,czyteż
wyłączniejednymz(nieskończenie)wielujegogórnychograniczeń.Wiemy,
żekresgórnyjestnajmniejszązliczbograniczającychzbiórzgóry,oiletaka
istnieje.Wprzestrzeniliczbrzeczywistychbędzieonaistniećnapewno,ale
wprzestrzeniliczbwymiernychmożejejniebyć.Zaprzykładmożetusłużyć
zbiór{q∈Q|q2<2},któregokresy(równe±√2)nienależądoprzestrzeni
Q(czylidefactoichniema).
Wracającdonaszegozadania,trzebastwierdzić,żekluczowejestteraz
zbadanie,czygórnymograniczeniemzbioruXmożebyćjakaśliczbamniejsza
od3/5,np.3/5−ǫ,dlapewnegomałegododatniegoǫ.Jeślitakiejliczbynie
ma,tokresrównyjest3/5.Natomiastjeślijest,tomusizachodzić:
∀y∈Rx=
3|y|−1
5|y|+1
<
3
5
−ǫ.
(1.3.3)
Wykonującprzekształceniaanalogicznedo(1.3.2),powyższemuwarunkowi
możnanadaćpostać:
∀y∈R
5(5|y|+1)
8
>ǫ
(1.3.4)
Jasnejest,żeniedasięspełnićtegowymogu.Prawastrona(czyliǫ)jest
ustalona,alewąmożemyuczynićdowolniemałą,wybierającodpowiednio
dużey,więcnierównośćniemożebyćprawdziwadlakażdegoy∈R.Nie
istniejezatemǫspełniające(1.3.3).Wniosek:kresemgórnymzbioruXjest
liczba3/5.Wartoustalićjeszcze,czykrestennależydozbioruX,czyteż
pozostajepozatymzbiorem.Odpowiedzinatopytaniedostarcza(1.3.2).
Zwróciliśmyjużwyżejuwagę,żenierównośćtajestostra,cooznacza,że
∀y∈Rx/=3/5.LiczbataniemożewięcnależećdozbioruX.
