Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3ZNAJDUJEMYKRESYZBIORÓWLICZBOWYCH
29
Rozwiązanie
Wyjdziemyodoczywistejnierówności:
∀i,b∈R(a−b)
2>0.
(1.3.8)
Dziękitemu,żeajb>0,nierówność(1.3.8)przepisaćmożnawnastępujący
sposób:
a2−2ab+b2>0⇐⇒a2+b2>2ab⇐⇒
a2+b2
ab
=
b
a
+
a
b
>2.(1.3.9)
Zdrugiejstrony,patrzącnadefincjęzbioruY,widzimy,żeliczbieymożna
nadaćpostać:
y=(a+b)(
a
1
+
1
b)=
a
b
+
a
b
+2.
(1.3.10)
Porównanie(1.3.9)oraz(1.3.10)prowadzidowniosku,że
y=
a
b
+
a
b
+2>4.
(1.3.11)
ZbiórYjestograniczonyzdołuliczbą4.Jednocześniegdypolewejstro-
nie(1.3.11)położymya=b,tonierównośćzmieniasięwrówność.Wynikają
stądnatychmiastdwawnioski:
infY=4jorazinfY∈Y.
(1.3.12)
JeślichodziosupremumzbioruY,łatwowykazać,żeononieistnieje,
gdyżzbiórniejestograniczonyzgóry.Bardzoczęsto,gdybadamyzachowa-
niewyrażeniazależnegoodkilkuzmiennych(wnaszymprzypadkuodaiod
b),wygodniejestnapoczątkuwszystkie,pozajedną,ustalić,abadaćzależ-
nośćodjedynejpozostawionejzmiennej.Połóżmywięcb=1,coodpowiada
badaniupewnegopodzbioruzbioruY.Jeśliwykażemy,żepodzbiórtenjest
nieograniczony,tooczywiścieisamzbiórYjestnieograniczony.Mamywięc:
y|bl1=(
a
b
+
a
b
+2)
|
|
|
|bl1
=a+2+
a
1
.
(1.3.13)
Codziejesię,gdyazmierzado0?Otóżwyrażenietomożemyuczynićdowol-
niedużym,gdyża+2>2,natomiast1/ajestwiększeoddowolnejdodatniej
liczbyM,oiletylkoweźmiemya<1/M.Podobnie,kładąca=M,znajdu-
jemy,że
y|bl1=M+2+
M
1
>M.
(1.3.14)
Podsumowując,trzebastwierdzić,żenieistniejeliczbaograniczającazbiór
Yzgóry.
