Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
2.1.Pojęciezbioruklasycznego
ROZDZIAŁ2.TEORIAZBIORÓWROZMYTYCH
Zbioramiiichwłasnościamizajmujesiędziałmatematykinazywanyteoriąmno-
gości.TwórcątejdziedzinyjestG.Cantor1.Pojęciezbiorunależydotzw.pojęć
pierwotnych(bezdefinicji).Zazwyczajprzezklasycznyzbiórrozumiemykolek-
cjęobiektówopewnychwłasnościachwyróżniającychjespośródinnychobiek-
tów.Obiektywtejkolekcjinazywamyelementamizbioru.Wzależnościodliczby
elementówzbiorydzielimynapuste,skończone(nelementowe)oraznieskończo-
ne.Każdemuzbiorowiprzyporządkowujemytzw.liczbękardynalną(moczbioru),
oznaczanądlazbioruAjakoCard(A).DlazbiorupustegoCard(∅)=0,dlaskoń-
czonegon-elementowegozbioruAmamyCard(A)=n.Moczbiorównieskoń-
czonych,aleprzeliczalnych,czylirównolicznychzezbioremliczbnaturalnych,
oznaczamysymbolemℵ02.Moczbiorównieskończonych,nieprzeliczalnych,ale
równolicznychzezbioremliczbrzeczywistychoznaczamysymbolem∁(moccon-
tinuum).Cantorwyraziłhipotezę,żenieistniejązbioryomocywiększejodmocy
zbiorówprzeliczalnych,alemniejszejniżmoccontinuum.
Naturalnewydajesięto,żeobiektymogąnależećlubnienależećdozbioru.
Przykładowo,jeżelirozważymyzbiórpolskichliter,to„ą”należy,natomiast„ö”
nienależydotegozbioru.Wprowadzanieinnychmożliwości(opróczprzynależ-
nościinieprzynależności)wydajesięnapierwszyrzutokaniepotrzebne.Jednak
wdalszejczęściksiążkiokażesiętouzasadnione.Zbioryoznaczamyzazwyczaj
dużymiliterami,naprzykładA,B,C,···,obiekty–małymiliterami,naprzykład
z,y,x,···.GdyobiektxnależydozbioruA,piszemyx∈A,wprzeciwnymprzy-
padkux/
∈A.Inaczejmówimy,żeobiektxjestlubniejestelementemzbioruA.
Nadowolnyzbiórmożemyspojrzećjakonapodzbiórpewnegonadzbioru(zawie-
rającegowszystkiemożliweobiekty)nazywanegoprzestrzeniąioznaczanegoX.
Zbiór(lubmnogość)wszystkichpodzbiorówprzestrzeniXoznaczmyjakoP(X)
lub2X.Symboliczniemożemyzapisać
P(X)g{A|A⊆X},
(2.1)
gdzie⊆oznaczazawieraniesięzbiorówlubinaczejinkluzjęzbiorówdefiniowaną
następująco:
A⊆B⇔∀
x∈A=⇒x∈B.
x∈X
(2.2)
Oznaczato,żeprzestrzeńXrównieżnależydomnogościwszystkichzbio-
rów,podobniejakizbiórpusty∅={}.Możemyzapisaćzatem
∅,X∈P(X).
(2.3)
1GeorgCantor(1845–1918),matematykniemiecki,twórcateoriimnogości,wpro-
wadziłtakżepojęciemocyzbioruorazwykazałnieprzeliczalnośćzbioruliczbrzeczywi-
stych.
2Symbolℵjestpierwsząliterąalfabetuhebrajskiego.Czytanyjestjakoalef.
