Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Estymacjamodelu
37
5.Macierzwariancjiikowariancjiskładnikówlosowychjestrówna:
V(S)=E(SST)=σ2In7gdzie0≤σ2<+fl7
cooznacza,że:
•EE2
t=σ2—wariancjaskładnikalosowegojeststaładlawszystkichobserwacji
(dlakażdegot);własnośćtanazywanajestjednorodnością,stałościąlubhomoskeda-
stycznościąwariancji),
•EEtE5=0dlawszystkich5/=t—składnikilosoweposzczególnychobserwacji
sąnieskorelowane(niewystępujeautokorelacjaskładnikówlosowych).
Zestawzałożeń1–5nazywamyklasycznymmodelemregresjiliniowej(KMRL).
Jeślidołączymyzałożenie:
6)E∼Nn(składniklosowyEman-wymiarowyrozkładnormalny),tootrzyma-
myzestawzałożeń1–6,nazywanyklasycznymmodelemnormalnejregresjiliniowej
(KMNRL)15.
Wodniesieniudojednorównaniowegomodeluliniowegonajczęściejstosowaną
(aczkolwiekniejedyną)metodąestymacjijestklasycznametodanajmniejszychkwa-
dratów(KMNK).
GenezatejmetodysięgapoczątkówXIXw.iwiążesięzpracamijednegoznajwięk-
szychmatematykówwszechczasów—C.F.Gaussa(por.Z.Pawłowski[110],s.90).
WedługJ.E.Freunda([40],s.327),pomysłzastosowaniakryteriumnajmniejszychkwa-
dratówprzypisaćnależyfrancuskiemumatematykowiA.M.Legendre’owi.Możnanie-
wątpliwieprzyjąć,iżobajuczeniniezależnieodsiebiewnieśliznaczącywkładwrozwój
tejmetody.Dzisiajotejhistorycznienajstarszej,aprzytymintuicyjnieprostejmetodzie
możnaprzeczytaćwkażdympodręcznikuekonometrii.
2.3.2.Klasycznametodanajmniejszychkwadratów
Estymacjamodelu—woparciuozebranedanestatystyczne(próbę—obserwacje
zmiennych)—poleganawyznaczeniuocenparametrówstrukturalnych,parametrów
rozkładuskładnikalosowegoiinnychmiardopasowaniamodeludoobserwacji(para-
metrówstrukturystochastycznej).
DlaobserwacjizmiennejobjaśnianejY(yt;t=17...7n)iKzmiennychobjaśnia-
jącychX17...7XK(xt17...7xtK;t=1727...7n)należyustalićmodelopisującyobser-
wacje,dopasowującdonichhiperpłaszczyznęokreślonąwzorem(2.1).Hiperpłaszczy-
znądopasowanąmetodąnajmniejszychkwadratówjesttakahiperpłaszczyzna,dlaktórej
sumakwadratówodchyleńobserwacjiodhiperpłaszczyznyjestnajmniejsza.
Dopasowanądoobserwacjihiperpłaszczyznęwyznaczająwartościteoretyczne
yt—wielkości,wktórychnieznaneparametry(u07...7uK)zastąpionoichocenami
ˆ
(a07...7aK):
yt=a0+a1xt1+a2xt2+lll+aKxtK7
ˆ
(2.8)
aodchyleniawartościteoretycznychodempirycznych(obserwacji)toreszty(et):
et=yt1ˆ
yt.
(2.9)
15KMNRLmożnawsposóbbardziejzwartyzapisaćzastępujączałożenia4–6jednym:E∼N(07σ2In),
tzn.składniklosowymarozkładnormalnyośredniej0imacierzywariancjiikowariancjiσ2In.
