Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
Rozdział
1
KONSTRUKCJE
TEORIOGRUPOWE
Wtymrozdzialerozwijamypojęciegrupywprowadzonewrozdziale4częściI.
Głównyakcentpołożyliśmynienagrupyabstrakcyjne,którympoświęconychjest
wielespecjalistycznychmonografii,alenabadanieróżnegorodzajunaturalnych
„działań”grup.Tewłaśniekonkretnerealizacjegrupbyłybodźcemdorozwoju
ogólnejteoriigrupiprzyniosłyjejreputacjęwygodnegonarzędziabadańmate-
matycznych.
Natleszczególnych(ale—podkreślmyto—ważnych)przykładówjeszcze
bardziejnarzucasiępotrzebabadania(homo-,epi-,izo-)morfizmówgrup,atakże
pewnychkonstrukcjiteoriogrupowych,pozwalającychsprowadzićbadanieobiek-
tówzłożonychdoobiektówprostszych.
§1.GRUPYKLASYCZNEMAŁYCHWYMIARÓW
1.Ogólnedefinicje.Wykładalgebryliniowejigeometriidostarczanowych
przykładówgrup,zasługującychnato,byprzyjrzećsięimniecodokładniej.
Wgrupachprzekształceńprzestrzeniafinicznych,euklidesowych,unitarnych
isymplektycznychwyróżniasiępodgrupypozostawiającenamiejscuustalony
punkt(np.początekukładuwspółrzędnych);prowadzitodotzw.grupklasycz-
nychGL(n),SL(n),O(n),SO(n),U(n),SU(n),Sp(n).Zauważmy,żeichwłaściwe
miejscejestwśródtzw.grupLiego,októrychwspominaliśmywczęściIIiktórym
poświęcimywięcejuwagiwrozdziale2.Niedążymytudoprzedstawieniapełnego
opisuwłasnościgrupklasycznych;zrobionotowinnychksiążkach.Dlamałych
nmówimyogrupachklasycznychmałychwymiarów.ZgrupamiGL(n)iSL(n)
zetknęliśmysięjużwcześniej(częśćI).Chcącuniknąćzbytdużejzależnościod
geometrii,przypominamy,żewybórbazyortonormalnejwprzestrzeniprowadzi
dorównoważnychmacierzowychdefinicjigrupyortogonalnejiunitarnej:
O(n)={A∈Mn(R)|
tAA=AtA=E}j
SO(n)={A∈O(n)|detA=1}j
