Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§2.WARSTWYWZGLĘDEMPODGRUPY
13
jedynkowej).PonieważodwzorowanieLg:H→gHokreślonewzoremLg(h)=gh
jestbijekcją(zob.dowódtwierdzeniaCayleya),więcCardgH=(H:e).Wten
sposóbotrzymujemyłatwydozapamiętaniawzór
(G:e)=(G:H)(H:e)j
zktóregowynikaklasyczne
TWIERDZENIE2(Lagrange’a).Rządgrupyskończonejjestpodzielnyprzez
rządkażdejjejpodgrupy.
WNIOSEK.Rząddowolnegoelementugrupyskończonejdzielirządgrupy.Grupa,
którejrządjestliczbąpierwsząp,jestcyklicznaijedynazdokładnościądoizomor-
fizmu.
Dowód.Rządkażdegoelementug∈Gjestrównyrzędowipodgrupycyklicz-
nej(g>generowanejprzeztenelement(częśćI,rozdz.4,§2,twierdzenie2).Jeśli
natomiast|G|=pjestliczbąpierwsząiHjestpodgrupąwGróżnąod{e},topo-
dzielnośćpprzez|H|oznacza,że|H|=p,astądH=G.TakwięcGpokrywasię
zpodgrupącykliczną,generowanąprzezdowolnyelementg/=e.Wiemyponadto,
żedwiegrupycyklicznetegosamegorzędusąizomorficzne(częśćI,rozdz.4,§2,
twierdzenie3).
WzwiązkuztwierdzeniemLagrange’arodzisiępokusa,bydlakażdegodziel-
nikamliczbyelementówgrupyGszukaćwGpodgrupyrzędum.Naogółjednak
niemacoliczyćnapowodzenie.Czytelnikmożesprawdzić,żewgrupiealternu-
jącejA4rzędu12niemapodgrupyrzędu6.
Jednakwniektórychgrupachtakie„odwrócenietwierdzeniaLagrange’a”ma
miejsce.
2.Strukturagrupcyklicznych.Jakjużprzypominaliśmy,wszystkiegrupy
cyklicznetegosamegorzędusąizomorficzne,arządgrupycyklicznejjestrówny
rzędowidowolnegojejgeneratora.Podgrupygrupcyklicznychopisuje
TWIERDZENIE3.Każdapodgrupagrupycyklicznejjestrównieżgrupącykliczną.
Wszystkiepodgrupynieskończonejgrupycyklicznej(Zj+)sąpostaci(mZj+),gdzie
m∈Z,m>0.Podgrupyskończonejgrupycyklicznejrzęduqsąwewzajemnie
jednoznacznejodpowiedniościzdzielnikami(dodatnimi)dliczbyq.
Dowód.BędziemydlaodmianyrozpatrywaćdowolnągrupęcyklicznąA=(a>
wzapisieaddytywnym.Każdyjejelementjestwięcpostacika,gdziek∈Z
lubk=0j1j...jq−1,jeśliAjestgrupąskończonąrzęduq.NiechBbędzie
niezerowąpodgrupąwA.Jeślika∈Bdlapewnegok/=0,torównież−ka∈B.
