Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
14
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
Spośródwszystkichelementówka∈Bzdodatnimikwybieramyelementma
znajmniejszymm.
Zapisującdowolnek>0wpostacik=lm+r,gdzie0<r<m,widzimy,
żezka∈Bwynika,iżra=ka−l(ma)∈B,awięcr=0napodstawie
mnimalnościm.Wynikastąd,żeB=(ma>jestgrupącykliczną.
Wszystkienieskończonegrupycyklicznesąizomorficzne.Weźmyjakomodel
grupęaddytywną(Zj+).Generatoramisątutaj1lub−1,awięcnapodstawie
powyższegokażdaniezerowapodgrupaw(Zj+)jestwyznaczonaprzezliczbę
naturalną(1)mirówna
mZ={0j±mj±2mj...}.
Wszystkietepodgrupysąoczywiścienieskończone.Jedynąskończonąpodgrupą
wZjestpodgrupazerowa.
Niechteraz(a>={0jaj...j(q−1)a},qa=0.Wiemy,żeniezerowapodgrupa
Bjestpostaci{0jmaj2maj...},gdziem∈N,przyczymjeślisa∈Bis∈N,to
s=mt.Twierdzimy,żemdzieliq.Istotnie,niechq=dm+r,gdzie0<r<m.
Wówczas
0=qa=d(ma)+raj
awięcra=−d(ma)∈B.Wobecminimalnościmmamyr=0,czyliq=dm.
Takwięcrządpodgrupy
B={0jmaj2maj...j(d−1)ma}=mA
jestrównyd.Gdymprzebiegawszystkiedodatniedzielnikiliczbyq,tosamo
dziejesięzd,awięcdlakażdegoddzielącegoqotrzymujemydokładniejedną
podgrupęwArzędud.
WNIOSEK.Wgrupiecyklicznej(a>rzęduqpodgruparzędud,gdzied|q,składa
sięztychelementówb∈(a>,dlaktórychdb=0.
Dowód.Jeślidm=qib∈B=mA,todb=0.Naodwrót,niechb=laidb=0.
Zwarunkudla=0wynika,żedl=qk=dmk,czylil=mkib=la=m(ka)∈
mA.
ĆWICZENIA
1.Udowodnić,żekażdapodgrupaindeksu2jestnormalna.
2.Wykorzystującćwiczenie1,spróbowaćudowodnić,żezdokładnościądoizo-
morfizmuS3jestjedynąnieabelowągrupąrzędu6.
(
1)Przypominamy,żewtejksiążce„liczbanaturalna”to„liczbacałkowitadodatnia”,czyli
N={1,2,3,...}(przyp.tłum.).
