Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§3.DZIAŁANIEGRUPNAZBIORACH
17
Analogicznie
gdyż
Wobectego
gSt(xo)g
11⊂St(x!
o)j
St(xo)g
11x!
o=St(xo)xo={xo}={g
11x!
o}.
St(x!
o)=gSt(xo)g
11={ghg11|h∈St(xo)}.
Wduchurozpatrywanegoponiżejprzykładu1mówimy,żedwiepodgrupy
HjH!⊂Gsąsprzężone,jeśliH!=gHg11dlapewnegog∈G.Sformułujemy
otrzymanerezultatywpostacitwierdzenia.
TWIERDZENIE1.JeśligrupaGdziałanazbiorzeΩipunktyxojx!
o∈Ωleżą
natejsamejorbicie,toichpodgrupystacjonarnesąsprzężone:
x!
o=gxo⇒St(x
!
o)=gSt(xo)g
11.
JeśliponadtozbiórΩigrupaGsąskończoneoraz
Ω=Ω1∪...∪Ωr
jestrozkłademzbioruΩnaorbityoreprezentantachx1j...jxr,to
|Ω|=
Σ
i=1
r
(G:St(xi)).
(2)
Wzór(2)leżyupodstawwieluzastosowań„metodyorbit”dlagrupskończo-
nych.
3.Przykładydziałańgrup.Zatrzymamysięjedynienaprzykładachzwią-
zanychzsamąteoriągrup.
Przykład1(działanieprzezsprzężenie).NaΩ=Gdefiniujemydzia-
łanieelementug∈Gwzorem
xl→Ig(x)=gxg
11j
x∈G.
Możnabypisaćg◦x=gxg11,alewoleliśmyzachowaćstareoznaczeniezczę-
ściI(rozdz.4,§2,p.4)dlaautomorfizmuwewnętrznegoIgodpowiadającego
elementowig∈G.
Działanietonazywamysprzężeniem(lubdziałaniemprzezautomorfizmy
wewnętrzne).JegojądremjestcentrumgrupyG:
Z(G)={z∈G|Ig(z)=zj∀g∈G}={z∈G|zg=gzj∀g∈G}.
Orbitęelementux∈G=ΩprzytymdziałaniuoznaczamysymbolemxGina-
zywamyklasąelementówsprzężonychzxlubklasąsprzężonościelementux.