Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
15
(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+yx+y2=x2yo+x1y1+x1y1+xoy2.
Każdyjednomianxkyn1kpojawiasię(
n
k)żkrotnie,gdyżwłaśnienatylespoż
sobówwśródnczynnikówiloczynu(x+y)(x+y)...(x+y)możnaustalić
kczynników,wktórychwybieramyx,rozdzielającmnożeniewzględemdoż
dawania.I
1.1.4.Udowodnić,że∀a/l1∀nΣ
n
klołk=a
n+111
a11.
Dowód(metodąindukcjimatematycznejwzględemn∈No).
(i)
Σ
klo
o
łk=ło=1=
ł−1
ł−1
=
ło+1−1
ł−1
.
(ii)
Σ
n+1
klo
łk=
Σ
klo
n
łk+łn+1
z.śnd.
=
łn+1−1
ł−1
+łn+1=
ł−1
·[(łn+1−1)+łn+1·(ł−1)]=
ł−1
1
·[łn+1−1+łn+2−łn+1]=
1
łn+2−1
ł−1
;(t.ind.)I
1.1.5.Udowodnić,że
∀n≥2
Σ
kl1
n
k2=(n
+1
3)+(n
+2
3).
Równośćzachodziteżdlan=1,gdyprzyjmiemy,że(
a
b)=0dlab>ł.
Dowód.(i)Niebędziemyformułowaćzasadyindukcjimatematycznejdla
zbioru{2,3,4,...}.Jestjasne,żepoczątkowykrokindukcjinależywykonać
dladwójki)Σ
2
kl1k2=12+22=5=(
3
3)+(
4
3).
(ii)Założenieindukcyjne)Σ
n
kl1k2=(
n+1
3)+(
n+2
3)orazk≥2.
Tezaindukcyjna)Σ
n+1
kl1k2=(
n+2
3)+(
n+3
3).
Mamy)Σ
n+1
kl1k2=Σ
n
kl1k2+(n+1)2
z.śnd.
=((
n+1
3)+(
n+2
3))+
(n+1)n
2
+
(n+1)n
2
+(n+1)=(
n+2
3)+(
n+1
3)+(
n+1
2)+(
n+1
2)+(
n+1
1)=(
n+2
3)+(
n+2
3)
+(
n+2
2)=(
n+2
3)+(
n+3
3).I
