Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
13
Zadania
1.1.1.Udowodnić,że
∀n∈N
0∀o≤k≤n(n
k)=
k!·(n−k)!
n!
.
Dowód(indukcjawzględemn).
(i)Niechn=k=0.Wtedyn!=k!=(n−k)!=0!=1,więc
k!·(n−k)!
=
1·1
1
=1=(
0
0)=(n
k).
n!
(ii)Założenieindukcyjne)
∀o≤k≤n(n
k)=
k!·(n−k)!
n!
.
Tezaindukcyjna)
∀o≤k≤n+1(n
+1
k)=(n
k!·(n+1−k)!
+1)!
.
Definicjaindukcyjna(D.ind.)symboluNewtonawskazuje,żepowinniśmy
rozpatrzyćtrzyprzypadki.
Przypadek1.[k=0]Wtedy
k!·(n+1−k)!
=
0!·(n+1)!
(n+1)!
=1
D.śnd.
=(n
+1
0)=(n
+1
k).
(n+1)!
Przypadek2.[k=n+1]Wtedy
k!·(n+1−k)!
=
(n+1)!·0!
(n+1)!
=1
D.śnd.
=(n
n+1)=(n
+1
+1
k).
(n+1)!
Przypadek3.[1śkśn]Wtedy
(n
+1
k)D.śnd
=(n
k)+(n
k−1)z.śnd.
=
k!·(n−k)!
n!
+
(k−1)!·(n−k+1)!
n!
=
n!
k!
·
(n−k)!·(n−k+1)
n−k+1
+n!·
(n−k+1)!
1
·
(k−1)!·k
k
=
