Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
ROZDZIAŁ1.
1.1.6.OdgadnąćdefinicjęindukcyjnąliczbtworzącychtrójkątEulera)
ł5
1
ł4
1
ł3
ł5
1
2
ł2
ł4
1
2
ł1
ł3
ł5
1
2
3
ł2
ł4
2
3
ł3
ł5
3
4
ł4
4
ł5
5
1
1
11
11
1
1
1
1
4
1
1
26
66
26
1
Rozwiązanie.Mamył1
1=1,łk+1
1
=łk+1
k+1=1orazdla2śiśkrówność
łk+1
ś
=(k+2−i)·łk
ś11+i·łk
ś.
Czynniki(k+2−i)orazisąnumeramiskośnychliniirównoległychdoboków
trójkąta,naprzecięciuktórychznajdujesięłk+1
ś
.
1.1.7.(Ciągdalszy1.1.6.)Udowodnić,że
nk=łk
1(n
k)+...+łk
ś(n
+i−1
k
)+...+łk
k(n
+k−1
k
).
Dowód(indukcjawzględemk).(i)n1=ł1
1(
n
1).
(ii)(Z.ind.)
Σ
śl1
k
łk
ś(n
+i−1
k
)=nk.
Mamy
Σ
k+1
śl1
łk+1
ś
(n
k+1)=
+i−1
Σ
k+1
śl1
(iłk
ś+(k+2−i)łk
ś11)(n
+i−1
k+1)=
Σ
k+1
śl1
iłk
ś(n
+i−1
k+1)+
Σ
jlo
k
(k+1−j)łk
j(n
k+1)=
+j
Σ
śl1
k
łk
ś(i(n
+i−1
k+1)+(k+1−i)(n
k+1))=
+i
Σ
śl1
k
łk
ś(n
+i−1
k
)·
k+1
1
[i(n+i−k−1)+(n+i)(k+1−i)]=
Σ
śl1
k
łk
ś(n
+i−1
k
)·nz.śnd.
=nk·n=nk+1.I
