Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
17
1.1.8.(Ciągdalszy1.1.7.)Udowodnić,że
1k+2k+3k+...+nk=łk
1(n
k+1)+...+łk
+1
ś(n
k+1)+...+łk
+i
k(n
k+1).
+k
Dowód(indukcjawzględemn).(i)1k=łk
k(
1+k
k+1).
(ii)Założenieindukcyjne)
1k+2k+3k+...+(n−1)k=
Σ
śl1
k
łk
ś(n
−1+i
k+1).
Namocyzałożeniaindukcyjnegoi1.1.7mamy)
1k+...+(n−1)k+nk=
Σ
śl1
k
łk
ś(n
+i−1
k+1)+
Σ
śl1
k
łk
ś(n
+i−1
k
)=
Σ
śl1
k
łk
ś(n
k+1),
+i
codowodzitezęindukcyją.I
1.1.9.Zapisaćwzórz1.1.8.dla1śkś5.
Rozwiązanie.
1+2+...+n=(n
+1
2),
12+22+...+n2=(n
+1
3)+(n
+2
3),
13+23+...+n3=(n
+1
4)+4(n
+2
4)+(n
+3
4),
14+24+...+n4=(n
+1
5)+11(n
+2
5)+11(n
+3
5)+(n
+4
5),
15+25+...+n5=(n
+1
6)+26(n
+2
6)+66(n
+3
6)+26(n
+4
6)+(n
+5
6),
Zauważmy,że1.1.8jestuogólnieniemzadania1.1.5itwierdzenia1.1.
