Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
21
czylix2−(A11+A22)·x+A11·A22−A12·A21=0.
Topierwszykrok.Drugikrokwymagawyznaczeniatakiejmacierzyprzejścia
S,żemacierzD:=S11◦A◦Sjestjużdiagonalnazwartościamiwłasnymi
ł,bnagłównejprzekątnej.WtedyA=S◦D◦S11iAn=S◦Dn◦S11.
MetodęobliczaniaSiS11omówimywuzupełnieniu1.2.4.
Przypomnijmy,żecelem,dlaktóregowyznaczaliśmymacierzK(n)było
otrzymaniejawnegowzorunaliczbęFn.Możnatoosiągnąćwprostszy
sposób,piszącFnwpostacixłn+ybn.DlaspełnieniawarunkuFn+2=
Fn+1+Fnwystarczy,abyłn+2=łn+1+łnorazbn+2=bn+1+bn.Rówż
naniezn+2=zn+1+znredukujesiędorównaniaz2−z−1=0,którema
rozwiązania)
ł=
1−√5
2
,
b=
1+√5
2
.
Niewiadomexiywyznaczamyzukładurównań
{x+y=Fo
łx+by=F1
.
Otrzymujemyy=−x=1
√5,
Fn=
√5[(1+√5
1
2
)
n
−(1−√5
2
)
n].
Wyniktenwydajesięzaskakujący.Jawnywzórokreślającyliczbęnaturalną
Fnzawieraliczbę√5,którejniepotrafimywżadensposóbztegowzoru
wyeliminować.PrzypominatoniecosłynnywzórTartaglii[ok.1500Ź1557]
iGirolamoCardana[1501Ź1576]pozwalającywyliczyćwpewnychprzypadż
kachrzeczywistypierwiastekwielomianux3+px+q,aletylkoprzyużyciu
liczbzespolonych.
1.2.3Dlan=0,1,2,...określamyliczby
Kn:=n2,Tn:=(n
+1
2)=
1
2
n(n+1).
LiczbyKnnazywamykwadratowymi,aTnliczbamitrójkątnymi.Otodziesięć
początkowychliczbTn)0,1,3,6,10,15,21,28,36,45.Dostrzegamyrówność
T8=K6.Wcześniej)To=KoiT1=K1.Czyznajdziemywięcejtakichpar
