Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
23
Dlaliczbwymiernychł,boznaczymył2−2b2przezN(ł+b√2).Korzystając
zanalogiipomiędzy|ł+bi|2orazN(ł+b√2),odgadujemyrówność)
N(u·w)=N(u)·N(w)dlau=ł+b√2,w=c+d√2,
którąterazudowodnimy)uw=(łc+2bd)+(łd+bc)√2,
N(uw)=(łc+2bd)2−2(łd+bc)2=ł2c2+4łbcd+4b2d2−2ł2d2−4łbcd−2b2c2=
ł2c2+4b2d2−2ł2d2−2b2c2=(ł2−2b2)(c2−2d2)=N(u)N(w).
Równaniediofantyczneł2−2b2=1,któremamyrozwiązać,mapostać
N(u)=1dlau=ł+b√2.ZwłasnościN(uw)=N(u)N(w)wynika,żejeśli
ujestrozwiązaniemtegorównania,tounteż)
N(u)=1⇒N(un)=(N(u))n=1.
WprawdzieN(1)=N(1+0·√2)=1,alejesttonieciekawerozwiązanie,gdyż
1n=1inieotrzymujemynowychrozwiązań.MamytakżeN(3+2√2)=1.
Stąddlakażdejliczbyvn:=(3+2√2)nmamyN(vn)Ż1.Oznaczając
łn+bn√2:=vn,otrzymamynieskończeniewieleparliczbnaturalnychłn,bn,
któresąrozwiązaniamirównaniał2−2b2=1.Skorovn+1=vn·(3+2√2),
tomamyrówności)
łn+1+bn+1√2=(łn+bn√2)(3+2√2);
łn+1=3łn+4bn,
bn+1=2łn+3bn,
ło=1;bo=0.
Wyznaczamyxn=(łn−1)/2iyn=bn/2.Mamyxo=yo=0.Warunkina
łn+1ibn+1zapiszemywnowejpostaci)
łn+1−1=3(łn−1)+4bn+2,
bn+1=2(łn−1)+3bn+2.
Dzielącobarównaniaprzezdwamamy)
xn+1=3xn+4yn+1,
