Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
1.21.Udowodnij,żeA⊆AdlarodzinyzbiorówAokreślonejnastępująco:
(a)A=/O.
(b)A={/O}.
(c)A={/O,{/O}}.
(d)A={/O,{/O},{/O,{/O}}}.
1.22.Udowodnij,żedladowolnejrodzinyzbiorówAnastępującewarunkisąrów-
noważne:
(1)A⊆A.
(2)Dladowolnychx,Z,jeślix∈ZiZ∈A,tox∈A.
(3)DladowolnegoZ,jeśliZ∈A,toZ⊆A.
(4)A⊆P(A).
1.23.Dlazbiorówa,bniech
(∗)
‡a,b‡={{{a},/O},{{b}}}.
Udowodnij,żedladowolnycha,b,cid
‡a,b‡=‡c,d‡
wtedyitylkowtedy,gdya=cib=d.
Znaczyto,żewzór(∗)mógłbyposłużyćzadefinicjęparyuporządkowanejzbiorów
a,b.
1.24.Niech|A|oznaczaliczbęelementówskończonegozbioruA.Udowodnij,że
dladowolnychskończonychzbiorówA,B
|A×B|=|A|·|B|.
1.25*.Udowodnij,żenieistniejeżadenzbiórA,dlaktóregoP(A)⊆A.
1.26*.Przyjmując,że(a,b)={{a},{a,b}},udowodnij,żedladowolnychzbiorów
niepustychAiBzachodzirówność
UU(A×B)=AUB.
1.27*.Niech|A|oznaczaliczbęelementówskończonegozbioruA.Udowodnij,że
dladowolnejliczbynaturalnejn>0idowolnychskończonychzbiorówA1,A2,...,
Anzachodzirówność
|A1UA2U...UAn|
=Σ
|Ai|−Σ
|AiΠAj|+Σ
|AiΠAjΠAk|−···+(−1)
n+1|A1Π···ΠAn|.
i
i<j
i<j<k
