Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.CAŁKARIEMANNA
21
1.4.19.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąnaR.Wykazać,że
(a)jeśli∫
-xf(t)dt=0dlakażdegox∈R,tofjestfunkcjąnieparzystą,
x
(b)jeśli∫
-xf(t)dt=2
x
∫
x
f(t)dtdlakażdegox∈R,tofjestfunkcjąparzystą,
o
(c)jeślidlapewnegoT>0mamy∫
x
x+T
f(t)dt=∫
of(t)dtdlakażdegox∈R,
T
tofjestfunkcjąokresowąookresieT>0.
1.4.20.Obliczyć
(a)lim
(b)lim
(c)lim
n→∞(n4∫
n→∞∫
n→∞(n3∫
1
2
ln(x+
n
n
n+1
2n
x5+1),
xdx
x5+1),
x5
xdx
n)dx,
(d)lim
n→∞(1
3π∫
π
2π
arctg(nx))
xdx
n
.
1.4.21.Obliczyćnastępującegranice:
(a)lim
(b)lim
(c)lim
n→∞∫
R→∞∫
n→∞∫
o
o
o
π/2
π
π/2
√xsinxdx,
n
d1+x
e-Rsintdt,
sinnx
dx.
1.4.22.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[0,1].Znaleźćgranicę
n→∞∫
lim
o
1
f(xn)dx.
1.4.23.Wykazać,żejeślifunkcjafjestcałkowalnawsensieRiemannana[a,b],
toistniejetakaB∈[a,b],że
∫
a
θ
f(t)dt=∫
θ
b
f(t)dt.
1.4.24.Załóżmy,żefunkcjafjestciągłana[a,b]iże
∫
a
b
f(x)dx=0.
Wykazać,żeistniejeB∈(a,b),dlaktórej
∫
a
θ
f(x)dx=f(B).
