Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
1.3.24.Udowodnićnastępującetwierdzenieomonotonicznymprzechodze-
niudogranicydladolnejcałkiRiemanna.
Jeśli{fn}jestmalejącymciągiemfunkcjiograniczonychna[a,b]ijeśli
n→∞
lim
fn(x)=0dlax∈[a,b],to
n→∞∫
lim
a
b
fn(x)dx=0.
1.3.25.UdowodnićnastępującetwierdzenieArzeli.
Jeśli{fn}jestciągiemfunkcjicałkowalnychwsensieRiemannana[a,b]zbież-
nymdofunkcjifcałkowalnejwsensieRiemannanatymprzedzialeijeśliist-
niejetakastałaM>0,że|fn(x)|≤Mdlawszystkichx∈[a,b]in∈N,
to
n→∞∫
lim
a
b
fn(x)dx=∫
a
b
f(x)dx.
1.3.26.UdowodnićnastępującylematFatoudlacałkiRiemanna.
Jeśli{fn}jestciągiemfunkcjinieujemnychcałkowalnychwsensieRiemannana
[a,b]zbieżnymdofunkcjifcałkowalnejwsensieRiemannanatymprzedziale,
to
∫
a
b
f(x)dx≤lim
n→∞∫
a
b
fn(x)dx.
1.4CAŁKARIEMANNA
1.4.1.Niechn∈N.Obliczyć
(a)∫
o
4
|x–2|+|x–3|
|x–1|
dx,
(b)∫
o
2
π
sinnxdx,∫
o
π
2
cosnxdx,
(c)∫
(e)∫
(g)∫
o
o
1
e
e
4
π
π
2
|lnx|dx,
tg2nxdx,
sinnx+cosnx
sinnx
dx.
(d)∫
(f)∫
o
o
π
π
4
1+cos2x
sinx+cosx
xsinx
sinx
dx,
dx,
1.4.2.Niechn∈N.Wykorzystująccałkę∫
o(1−x2)
1
n
dx,obliczyć
1(
1
n
0)−1
3(
1)+1
n
5(
n
2)−...+(−1)n1
2n+1(
n
n).
1.4.3.Załóżmy,żefmafunkcjępierwotną(całkęnieoznaczoną)naprzedzialeI;
toznaczy,istniejetakafunkcjaróżniczkowalnaF,żeF!(x)=f(x)dlax∈I.
Wykazać,żejeśliistniejejednostronnagranicafunkcjifwpunkciexo∈Iijest
równaa,tof(xo)=a.
