Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.DALSZEWŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
13
1.2.27.Wykazać,żejeślif(x)=lim
n→∞
fn(x)dlax∈[a,b],to
V(f;a,b)≤lim
n→∞
V(fn;a,b).
1.2.28.Załóżmy,żeszeregiΣ
∞
n=1aniΣ
∞
n=1bnsązbieżnebezwzględniei{xn}
jestciągiemróżnychpunktówprzedziału(0,1).Udowodnić,żefunkcjafokreś-
lonawnastępującysposób:
f(0)=0,
f(x)=Σ
an+Σ
bn
dla
x∈(0,1],
xn≤x
xn<x
jestciągławkażdympunkciex/=xn,n∈N,oraz
f(xn)−f(x
-
n)=an,
f(x+
n)−f(xn)=bn.
Wykazaćrównież,że
V(f;0,1)=
n=1
Σ
∞
(|an|+|bn|).
1.3DALSZEWŁASNOŚCI
CAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
WtympodrozdzialerozpatrujemycałkęRiemanna–Stieltjesawzględemfunkcjiowa-
haniuskończonym.Jeśliαjestfunkcjąowahaniuskończonymna[a,b]orazα=p−q,
gdziepiqsąrosnącena[a,b]ijeślif∈R(p)orazf∈R(q)(patrzpodrozdział1.1),to
przyjmujemy
∫
a
b
f(x)dα(x)=∫
a
b
f(x)dp(x)−∫
a
b
f(x)dq(x).
Powyższadefinicjaniezależyodsposobuprzedstawieniafunkcjiαjakoróżnicydwóch
funkcjirosnących.
TWIERDZENIE1.Jeślifunkcjefiαmająwahanieskończonena[a,b]ijednaznich
jestciągła,to
∫
a
b
f(x)dα(x)=f(b)α(b)−f(a)α(a)−∫
a
b
α(x)df(x).
Powyższetwierdzeniejestnazywanetwierdzeniemocałkowaniuprzezczęści.
TWIERDZENIE2.Załóżmy,żefiϕsąfunkcjamiciągłymina[a,b]iϕjestściśle
rosnącana[a,b].Jeśliψjestfunkcjąodwrotnądoϕ,to
∫
a
b
f(x)dx=∫
ϕ(a)
ϕ(b)
f(ψ(y))dψ(y).
Twierdzenietonazywamytwierdzeniemocałkowaniuprzezpodstawienie.
