Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.GRANICAFUNKCJI
1.1.34.Wykazać,żejeślilim
x→o
f(x(
x
1
−[
x]))=0,tolim
1
x→o
f(x)=0.
7
1.1.35.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąrosnącą(malejącą)naprzedziale(a,b),
todladowolnegoxo∈(a,b):
(a)lim
x→x
+
o
f(x)=infx>x
of(x)
(lim
x→x
+
o
f(x)=supx>x
of(x)),
(b)lim
x→x
-
o
f(x)=supx<x
of(x)
(lim
x→x
-
o
f(x)=infx<x
of(x)),
(c)f(x
-
o)≤f(xo)≤f(x
+
o)
(f(x
-
o)≥f(xo)≥f(x
+
o)).
1.1.36.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąrosnącąnaprzedziale(a,b),todlado-
wolnegoxo∈(a,b):
(a)lim
x→x
+
o
f(x-)=f(x+
o),
(b)lim
x→x
-
o
f(x+)=f(x-
o).
1.1.37.UdowodnićnastępującetwierdzenieCauchy’ego:
Nato,abyistniałaskończonagranicafunkcjifwpunkcieapotrzebaiwystarcza,
bydladowolnegoε>0istniałatakaδ>0,żedladowolnychx,x!należących
dodziedzinyfprawdziwajestimplikacja
(0<|x−a|<δ∧0<|x!−a|<δ)=⇒|f(x)−f(x!)|<ε.
Sformułowaćiudowodnićodpowiedniwarunekrównoważnyistnieniuskończonej
granicylim
x→∞
f(x).
1.1.38.Udowodnić,że:
Jeślilim
x→a
f(x)=Aoraz
y→A
lim
g(y)=B,tolim
x→a
g(f(x))=B
przyzałożeniu,żesuperpozycjag◦fistniejeiżefunkcjafnieprzyjmujewar-
tościAwpewnymnakłutymotoczeniupunktua.
1.1.39.Podaćprzykładtakichfunkcjif,g,dlaktórychlim
x→a
f(x)=Aoraz
y→A
lim
g(y)=B,natomiastlim
x→a
g(f(x))/=B.
1.1.40.Niechf:R→Rbędzietakąfunkcjąrosnącą,żex→f(x)−xjest
funkcjąokresowąookresie1iniechfnoznaczan-tąiteracjęfunkcjif,tzn.f1=
f,fn=f◦fn-1,n≥2.Wykazać,żejeśliistniejelim
n→∞
fn(0)
n
,torównieżdla
każdegox∈Ristniejegranicalim
n→∞
fn(x)
n
orazzachodzirównośćlim
n→∞
fn(x)
n
=
n→∞
lim
fn(0)
n
.
1.1.41.Niechf:R→Rbędzietakąfunkcjąrosnącą,żex→f(x)−xjest
funkcjąokresowąookresie1iniechfnoznaczan-tąiteracjęfunkcjif.Niech
