Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
1.Liczbyzespolone.Homografie
1.2.12.
Znaleźćrzutstereograficznywielkiegookręgusferyłączącegopunkty
{
ł3
3
,–
ł3
4
,
ł2
ł3}i{–
2
3
,
2
3
,
ł
3}.
1.2.13.
Jeślizł,z2sąpunktamipłaszczyzny^
C,toodległośćσ(zł,z2)wR3ichob-
razówsferycznychnazywamyodległościąsferycznąpunktówzł,z2.Wykazać,że
σ(zł,z2)=2|zł–z2|[(ł+|zł|2)(ł+|z2|2)]–ł/2.
1.2.14.
Jeślidσ,dssąodpowiadającymisobieprzyrzuciestereograficznymelementami
długościnasferzeinapłaszczyźnieC,przyczymelementdswychodzizpunktuz,
to
dσ
ds
=2(ł+|z|2)–ł.Wykazać,żekątypomiędzyprzecinającymisiękrzywymina
płaszczyźnieCipomiędzyichobrazamisferycznymisątakiesame(rzutstereogra-
ficznyzachowujekąty).
1.2.15.
ObracamysferęSokątϕdookołaśrednicy,którejkońcemająjakorzutyste-
reograficznepunktya,–a–ł(por.zadanieł.2.9).Wykazać,żejeśliz,Ęsąrzutami
stereograficznymipunktówodpowiadającychsobieprzyobrociesfery,to
ł+aĘ
Ę–a
=eiϕ
ł+az
z–a
.
1.2.16.
DanesądwapunktyAł,A2nasferze,którychrzutamistereograficznymisą
ał,a2.Wyznaczyćrzutstereograficznyzbiorupunktówsferyjednakowoodległychod
AłiA2.
1.2.17.
Znaleźćpromieńokręgubędącegoobrazemsferycznymokręgu|z–a|=r.
1.2.18.
NiechFbędziekrzywąregularnąnasferze,ayjejrzutemstereograficznym;
wykazać,żedługośćl(F)krzywejjestrówna
∫
y
ł+|z|2
2ds
.
1.2.19.
Znaleźćrzutstereograficznyloksodromy,tj.krzywejnasferzeprzecinającej
wszystkiepołudnikipodjednakowymkątem.
1.2.20.
Znaleźćdługośćl(F)loksodromyłączącejpunkty,którychrzutamistereogra-
ficznymisąpunktyzł=rł,z2=r2eiα,o<α<2π.
Obliczyćl(F)przyzł=
ł
3
√3,z2=
ł
2
(3+i√3).
1.2.21.
WyznaczyćpoleobszaruDnasferze,będącegoobrazemsferycznymobrazu
regularnego∆⊂C.
1.2.22.
Wykazać,żepoletrójkątasferycznegoTokątachα,β,y,któregobokamisą
łukiwielkichokręgówsfery,jestrówne|T|=(α+β+y)–π.
1.2.23.
ZnaleźćpoletrójkątasferycznegoT,któregowierzchołkamisąpunkty:
{o,
ł
2
√2,
ł
2
√2},{
ł
2
√2,
ł
2
√2,o},{o,ł,o}.
