Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
Liczbyzespolone.Homografie
1.1.Liczbyzespolone.Zbioryiciągiliczbzespolonych
1.1.1.
Przedstawićnastępująceliczbyzespolonewpostacia+bi(zrzeczywistymia,b):
ł–3i
2
,
(ł+i√3)
6,
ł+i
ł–i
5
,
ł+i√3
ł–i
4
.
1.1.2.
Znaleźćwszystkieliczbyzespolonez,dlaktórychz=z2.
1.1.3.
Wykazać,żedla|z|=r>oczęścirzeczywistaiurojonaliczbyzwyrażająsię
odpowiedniowzorami
rez=
ł
2z+
r2
z,imz=
2iz–
ł
r2
z.
1.1.4.
Wyznaczyćwszystkieliczbyzespolonez,dlaktórychwyrażenie(ł+z)(ł–z)–ł
jest
(i)liczbąrzeczywistą,
(ii)liczbączystourojoną.
1.1.5.
Wykazać,żejeśliz=x+iyniejestliczbąrzeczywistąujemną,toistniejetylko
jednaliczbaĘododatniejczęścirzeczywistej,spełniającarównośćĘ2=z.Wyznaczyć
reĘorazimĘwzależnościodxiy.
1.1.6.
Wykazaćtożsamość|zł+z2|2+|zł–z2|2=2(|zł|2+|z2|2)ipodaćjejinterpretację
geometryczną.
1.1.7.
Wykazać,że|a+√a2–b2|+|a–√a2–b2|=|a+b|+|a–b|.
1.1.8.
Wykazaćtożsamości:
(i)i
izł(ł+|z2|2)–z2(ł+|zł|2)i
i
2=|z
ł–z2|2|ł–złz2|2–(złz2–złz2)2,
(ii)|ł+złz2|2+|zł–z2|2=(ł+|zł|2)(ł+|z2|2),
(iii)|ł–złz2|2–|zł–z2|2=(ł–|zł|2)(ł–|z2|2).
1.1.9.
Wykazać,żedla9/=o,∓2π,∓4π,...zachodzirówność
ł+ei9+e2i9+...+ein9=ein9/2sin
2
ł
(n+ł)9(sin
ł
2
9)
–ł
.
