Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Relacje
interpretujemyjakotrójwymiarowąprzestrzeńzkartezjańskim
układemwspółrzędnych.Narysunku1.3wprzestrzenitejprzed-
stawionozbiórA1{2}×[07+fl[×[07+fl[.
Wprowadzimyterazpojęcierelacji.Potocznieterminu„rela-
cja”używamyzwykledookreśleniastosunkuzachodzącegomię-
dzydwoma(lubwięcej)przedmiotami,pojęciami,wielkościami
itp.Takteżtermintenrozumiemywmatematyce.Zanimgo
jednakformalniezdefiniujemy,rozważmydwaprosteprzykłady.
NiechXiYbędą,odpowiednio,zbioramidostawcówiodbior-
cówpewnegotowaru.JeślidostawcaxEXdostarczatowarod-
biorcyyEY,tomówimy,żeelementyxiysąwrelacji(relacji
dostawy).Spośródparuporządkowanych(x7y)EX×Ypewne
sąwrelacji,innenie.Widzimy,żerelacjętęmożnautożsamić
zpodzbioremiloczynukartezjańskiegoX×Ytychpar,któresą
wrelacji.PodzbiórtenoznaczymyprzezR,azapis(x7y)ER
będzieoznaczał,żexjestwrelacjizy(dokładniej,żexjest
wrelacjiRzy).
Wostatnimprzykładzierozpatrujemyrelacjęmiędzyelemen-
tamidwóchróżnychzbiorów,częstojednakmogąbyćonerówne:
Y1X.NiechnaprzykładXbędziezbioremludziipowiedzmy,
żeosobaxEXjestwrelacjizosobąyEY,jeślixjestojcemy.
Tęrelację(relacjęojcostwa)możemyutożsamićzpodzbiorem
RiloczynukartezjańskiegoX×X.Takjakpoprzedniozapis
(x7y)ERbędzieoznaczał,żexjestwrelacjiRzy(xjest
ojcemy).Tymrazemxiynależąjednakdotegosamegozbioru
X,powiemywięc,żemamydoczynieniazrelacjąwzbiorzeX.
23
Rys0103
1024PodzbiórRiloczynukartezjańskiegoX×Ynazywamyre-
Definicja
lacjądwuargumentowąwtymiloczynie.RelacjęRwiloczynie
kartezjańskimX×XnazywamyrelacjąwX.
NiechR⊂X×Ybędzierelacją.Jeżeli(x7y)ER,tomó-
wimy,żeelementxjestwrelacjiRzelementemyipiszemy
x
∼ylubxRy.DziedzinąiprzeciwdziedzinąrelacjiRnazy-
R
wamyzbioryDR⊂XorazPR⊂Yokreślonenastępująco:
1025
1026
DR1{xEX:V
yEY
(x7y)ER}7
PR1{yEY:V
xEY
(x7y)ER}.
RelacjąodwrotnądoR⊂X×Ynazywamytakąrelację
R11⊂Y×X,że
1027
R111{(y7x)EY×X:(x7y)ER}.
