Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Relacje
symetryczną
⇔^
x7yEX
(xRy⇒yRx)7
25
przeciwsymetryczną(10)
⇔^
x7yEX
(xRy⇒∼yRx)7
⇔^
x7yEX
(xRy∧yRx⇒y1x)7
⇔^
x7yEX
(xRy∨yRx)7
⇔^
x7y7zEX
(xRy∧yRz⇒xRz).
antysymetryczną
spójną
przechodnią
Podczasanalizytychwłasnościwygodniejestposługiwaćsię
następującąinterpretacjągraficznąrelacjiR,poprawnąwprzy-
padku,gdyXjestzbioremskończonym:elementomzbioruX
przyporządkowujemymianowiciepunktypłaszczyzny,akaż-
dejparze(x7y)ERprzyporządkowujemystrzałkęprowadzącą
zpunktuxdopunktuy(takutworzonąfiguręnazywamygra-
fem(11)).Narysunku1.6przedstawionajestrelacjaRwzbio-
rzeX1{17273},którejjedynąspośródwymienionychwłasno-
ścijestwłasnośćsymetrii.PozostawiamyCzytelnikowipodanie
przykładówcharakteryzującychpozostałewłasności.
Niektórerelacjemająjednocześniekilkazwymienionych
wdefinicji(1.28)własności.Takimiprzypadkamizajmiemysię
teraz.
104020Relacjeporządkujące
Y
yx
=
X
Rys0105
1
2
3
Rys0106
1029RelacjęR⊂X×Xzwrotną,przechodniąiantysyme-
Definicja
trycznąnazywamyporządkiem.JeśliponadtorelacjaRjest
spójna,toRnazywamyporządkiemliniowym(12).
JeślirelacjaR⊂X×Xjestporządkiem(odpowiednio
porządkiemliniowym),tomówimyrównież,żeRporządkuje
(odpowiednioporządkujeliniowo)zbiórX.Parę(X7R)nazy-
wamywtedyprzestrzeniąuporządkowaną(odpowiednioupo-
rządkowanąliniowo),aXnazywamyzbioremuporządkowanym
(odpowiedniouporządkowanymliniowo)przezrelacjęR.
10Wostatnimprzykładzierozpatrywaliśmyrelację≤wzbio-
Przykład
rzeliczbrzeczywistychR.PorządkujeonazbiórRliniowo.
(10)Relacjęprzeciwsymetrycznąnazywasiętakżeasymetryczną.
(11)Ogólniegrafemnazywamyparęuporządkowaną(X7R),gdzieXjest
niepustymzbioremiR⊂X×X.
(12)Porządek,któryniejestliniowy,nazywamyporządkiemczęściowym.
