Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Odwzorowania
niejodwrotnejR11,któreposłużąnamzresztądoformalnego
zdefiniowaniaodwzorowaniaodwrotnego.
1048Niechrelacjaf⊂X×YbędzieodwzorowaniemzbioruX
Definicja
wzbiórY,tzn.f:X→Y.Jeślirelacjaodwrotnaf11⊂Y×X
jestodwzorowaniemzbioruYwzbiórX(tzn.jestprawostronnie
jednoznacznaiDf111Y),tof
11nazywamyodwzorowaniem
odwrotnymdofipiszemyf11:Y→X.
1049Jeślif:X→Yjestbijekcją,toistniejeodwzorowanie
Twierdzenie
odwrotnef11:Y→Xbędącetakżebijekcją.
37
Dorelacjif⊂X×Yzawszeistniejerelacjaodwrotnaf11⊂Y×X
Dowód
(przypomnijmy,że(y7x)Ef11wtedyitylkowtedy,gdy(x7y)Ef),
przyczymDf1Pf11orazPf1Df11.Zzałożeńofwiemy,żefjest
relacjąwzajemniejednoznaczną(prawostronnie,bojestodwzorowaniem,
ilewostronnie,bojestinjekcją).Stądf11teżjestrelacjąwzajemniejed-
noznaczną.PonadtoDf1XiPf1Y,więcDf111YiPf111X.Ze
wszystkichwymienionychwłasnościrelacjif11wynika,żejestonaodwzo-
F
2
=
{(,),(,),(,),(,)}
adbccbda
rowaniemYwX(f11jestprawostronniejednoznacznaiD
f111Y),jest
d
´
toprzytymbijekcja(f11jestlewostronniejednoznacznaiP
f111X).
c
´
Wtensposóbpytanie,czydladanegoodwzorowania
f:X→Yistniejeodwzorowanieodwrotne,sprowadziliśmydo
problemu,czyodwzorowaniewyjściowefjestbijekcją.Zatrzy-
majmysięprzezchwilęnadtechnicznąstronąwyznaczaniaod-
wzorowaniaodwrotnego.Wtymceluzauważmy,żebijektyw-
nośćodwzorowaniafoznacza,iżprawdziwejestzdanie
1050
yEY
^
xEX
V
!(x7y)Ef.
Pierwszedwakwantyfikatoryrozpoznajemyzwarunkunasur-
jektywnośćf,wykrzyknikzaś,czyliżądanie,bykażdemuele-
mentowiymożnabyłoprzyporządkowaćtylkojedenelementx
oznacza,żerelacjafjestlewostronniejednoznaczna,czylimó-
wiącjeszczeinaczej,żefjestodwzorowaniemróżnowartościo-
wym.Pamiętającodefinicjirelacjiodwrotnej,wzórtenmożemy
równoważnieprzedstawićwpostaci
b
´
a
a
´
d
b
c
d
´
´
c
´
b
a
a
´
d
b
c
Rys01016b0Surjekcjazbio-
rówotejsamejliczbie
elementówjestróżnowar-
tościowa:niejestmożliwe
przyporządkowanieróżnym
argumentomtejsamejwar-
yEY
^
xEX
V
!(y7x)Ef11.
tościwtakisposób,żeby
wykorzystaćwszystkiear-
gumentyiwartościinie
Terazjednakdwapierwszekwantyfikatoryoznaczają,żedzie-
dzinąrelacjiodwrotnejf11jestzbiórY,wykrzyknikzaśoznacza
naruszyćwarunkulewo-
stronnejjednoznaczności
