Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁII.LICZBYWSZKOLEPONADPODSTAWOWEJ
15
Definicjanr2:Liczbajestniewymierna,jeśliniemożnajejprzedstawićwpostaci
ilorazuliczbcałkowitych.
Pierwszadefinicjapozwalawłatwysposóbgenerowaćprzykładyliczbniewy-
miernych,druganatomiastumożliwiadowodzenieniewymiernościliczb.W[MPM]
(s.38–40)możnaznaleźćkilkadowodówniewymiernościliczby
2
,aleraczej
żadenznichniejestwzasięguprzeciętnegoucznia.Jaksiędowodzi,żekażda
liczba,któramarozwinięciedziesiętneskończonelubnieskończoneiodpewnego
miejscaokresowe,jestliczbąwymiernąwsensiedrugiejdefinicji?
Jeślirozwinięciedziesiętneliczbyajestskończone,tojestonapostacim
mjestliczbącałkowitą,nliczbąnaturalną,więcrzeczywiścieajestilorazemliczb
10
n
,gdzie
całkowitych.Jeślinatomiastamarozwinięciedziesiętnenieskończoneokresowe,
to
a
=
b
+0,()
c
,gdziebjestczęściącałkowitąliczbya,cjejokresemzłożonym
zncyfr.Wówczasmnożącliczbę0,()
cprzez10n,otrzymujemyliczbęcc
,(),przy
czymzliczbyprzedprzecinkiemusuwamywszystkiepoczątkowekolejnezera.
Stąd
cc
,()
-
0
,()
c
=
c
oraz
10
n
⋅
0
,()
c
=
c
,oznaczato,żeliczba
0,()
c
jestwymierna.
Ostatecznieliczbaateżjestwymierna.Tendowódwymagajeszczeuzupełnienia
(por.ćwiczenie2,s.18).
Fascynującaliczbaπ
Spójrzmynafotografięrzeźbystojącejprzy
dworcuwmiejscowościUpllandsVäsbynieda-
lekoSztokholmu.RzeźbanazywasięPiosaurus.
Liczbaπ,bezwątpieniajednaznajważniej-
szychstałychwnauce,pojawiasięwwielu
zastosowaniach.Szukającinformacjidotego
rozdziału,zdużymzaskoczeniemuświadomiłem
sobie,wiluodsłonachliczbatawystępujewfi-
zyce.Wszkolepodstawowejuczniowiedoświadczalniesprawdzają,żestosunek
długościokręgudodługościjegośrednicyjestwielkościąstałą(oznaczanągrecką
literąπ),którejprzybliżonawartośćwynosi3,14;pojawiasięniekiedyinformacja,
żeπjestliczbąniewymierną.Wartowszkoleponadpodstawowejporuszyćtemat
przybliżeńwartościtejliczby.Tomożebyćświetnedoświadczeniematematyczne–
wykonajmyje,wzorującsięnapomyśleArchimedesa,którywpisywałiopisywał
naokręgun-kątyforemne.Spójrzmynarysunekdlan=4idlan=8–wokrąg
wpisaliśmykwadratiośmiokątforemny.
