Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.OdwzorowaniaprzestrzeniRn
27
przyjmujebowiemtesamewartościdla(xjg)i(xjg+2nπ).Odwzorowanief11
nieistniejezatemnacałejpłaszczyźnieR2,lecztylkowpasachx∈(−∞j+∞)
ig∈(gojgo+2π)dladowolnegogo.
Przykład1.3.Jeżelijakobianznikawpewnychpunktach,toodwzorowanie
odwrotnemożeistniećwichobrazach,leczniejestwnichróżniczkowalne.
Niechf:R1→R1,f(x)=g:=x3.JakobianJf=f!(x)=3x2iJf(0)=0.
Odwzorowanieodwrotnef11(g)=3
√gistniejerównieżwpunkcieg=f(0)=
=0,leczniejesttamróżniczkowalne.
Przykład1.4.BierzemynapłaszczyźniezbiórUwkształciepółkolaopro-
mieniu1znajdującegosięnapółpłaszczyźniex>0,rys.1.1.ZbiórUjest
otwarty,więcjegobrzegzłożonyzpółokręguiśrednicyAOBnienależydo
niego.NaR2wprowadzamywspółrzędnebiegunoweTi0,apunktypłaszczy-
znytraktujemyjakliczbyzespolone,z=x+ig=Teiϕ.Dlapunktówz∈U
mamy−π/2<0<+π/2,dlaargumentu0przyjmujemybowiemkonwencję,
żejestnieciągłynaujemnejpółosiOx.Odwzorowanief(z):=z2przekształca
topółkolewotwartekołojednostkoweVnapłaszczyźniew=u+iu,zktó-
regoopróczbrzegowegookręguusuniętoodcinekOC,−1<u<0,naktórym
argumentf(z)jestrówny±πiktóryjestwspólnymobrazemodcinkówAO
iOB.OdwzorowaniefjestróżnowartościowenaUijestodwzorowaniemU
naV=f(U),jestteżciągłenaU.Wydajesię,żeodwzorowanief11niejest
ciągłenaV,gdyżbliskimpunktompiq,leżącympoobustronachodcinka
OC,przyporządkowujeichobrazyf11(p)if11(q),którewUsądalekood
siebie.
Rysunek101
Wrażenietojestmylne.Odwzorowaniefmawspółrzędneu=x2−g2,
u=2xg,będącefunkcjamiklasyC1,imacierzJacobiego
