Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Transformacjewspółrzędnych
29
DEFINICJA1.7.NiechU,VbędązbioramiotwartymiwRniniech
f:U
→Vbędzieróżnowartościowe.JeżelifjestklasyCk,k>1,naU,
na
aodwzorowanieodwrotnef11jestklasyCknaV=f(U),tofnazywamy
dyfeomorfizmemklasyCkzbioruUnaV.
Zachodzitwierdzenie:kulaotwartawRnjestdyfeomorficznazcałąprze-
strzeniąRn.Rzeczywiście,niechKn(0j1)będzien–wymiarowąkuląotwartą
ośrodkuwpunkcie(wektorze)0ipromieniu1,x=(x1j...jxn)∈Knoraz
y=(g1j...jgn)∈Rn.Szukanydyfeomorfizmjestzadanynp.przez
y=
d1−|x|2
x
j
x=
d1+|y|2
y
j
gdzie|x|2=Σ
n
i=1(xi)2<1oraz|y|2=Σ
n
i=1(gi)2.
Dyfeomorfizmjestoczywiściehomeomorfizmem,lecznienaodwrót:fif11
niemusząbyćróżniczkowalne.Nawetjeżelihomeomorfizmfjestróżniczkowal-
ny,toodwzorowanief11niemusibyćróżniczkowalne.Twierdzenieofunkcji
odwrotnejwymaga,byjakobianJfnieznikałnigdzienaU.Zprzykładu1.3
wynika,żehomeomorfizmR1naR1,g=x3,jestklasyC∞,amimotood-
wzorowanieodwrotneniejestróżniczkowalnewg=0.
1.6.Transformacjewspółrzędnych
Dowolnypunktx∈Rnjestutożsamionyzciągiemswoichwspółrzęd-
nychkartezjańskich13x1j...jxn,natomiastpunktp∈Enmasensgeome-
trycznyijegowspółrzędneafinicznezależąodwyborupunktupoczątkowego
OorazbazywstowarzyszonejprzestrzeniliniowejVn.WybórbazywVn
oznacza,żewektoru=Σ
ixiEizostajeutożsamionyzpunktem–wektorem
x=(xi)∈Rn,apunktp=O+u=O+xwEnjestreprezentowanyprzez
punktxwRn.ZmianabazywVnpowoduje,żeterazu=Σ
ix!iE!
iipunktp
jestreprezentowanyprzezx!=(x!i);jesttoortogonalnatransformacjawspół-
rzędnychafinicznych.Możemywyjśćpozatransformacjelinioweiwspółrzędne
afiniczne,zastępującjedowolnymiwspółrzędnymi.WdanymobszarzewEn
wprowadzamykrzywoliniowyukładwspółrzędnych,czylidokonujemydowolnej
transformacjiwspółrzędnych;jesttojednaznajczęstszychoperacjimatema-
tycznychwgeometrii,fizyceitechnice.Transformacjataoznacza,żeobszar
wEn,reprezentowanyprzezpewienobszarwstowarzyszonejprzestrzeniRn,
potransformacjijestreprezentowanyprzezinnyobszarwRn,będącydyfeo-
13Geometrycznie,przezukładwspółrzędnychkartezjańskichrozumiemytu,zgodniezrozpo-
wszechnionymzwyczajem,układprostoliniowyprostokątny.NatomiastpodręcznikM.StarkaGeo-
metriaanalityczna,PWN,Warszawa1967,s.57,nazwą„współrzędnekartezjańskie”obejmuje
wszystkieukładyprostoliniowe,czylizarównoprostokątne,jakiukośnokątne.
