Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.Preliminaria
2(x−g
g
x)j
którejwyznacznikJf=4(x2+g2)jestdodatniwU.Ponieważróżnowarto-
ściowośćfjestoczywista,więczałożeniatwierdzeniaofunkcjiodwrotnejsą
spełnioneif11jestciągłanaV.Rzeczywiście,niechg=f11iniechpleży
bliskoodcinkaOC,tzn.u(p)=δ,0<δ≪1.NiechWpbędzieotoczeniem
otwartympunktug(p)wUwkształciekołaopromienius.Zwłasnościfunkcji
pierwiastekkwadratowy,z=g(w)=√wwynika,żedladowolniemałegos
istniejekołootwarteKpośrodkuwpipromieniumniejszymodδ,awięc
nieprzecinająceodcinkaOCibędącetymsamymzbioremspójnymwV,takie
żeg(Kp)⊂Wp.Wynikastąd,żeodwzorowaniegjestciągłewpiztakie-
gosamegopowodujestciągłewpunkcieqleżącymtużponiżejusuniętego
odcinka.
Fakt,żeobrazypunktówbliskichleżąwUdalekoodsiebie,pokazuje,że
funkcja√w,ciągłanazbiorzeV,niemananimwłasnościsilniejszej—nie
jestjednostajnieciągła.JednostajnaciągłośćodwzorowańwRn,podobniejak
dlafunkcjijednejzmiennej,jestwłasnościąinteresującą,jednakdlanaszych
celówjestzbędna,istotnajesttylkozwykłaciągłość.
Odwzorowanief(z)=z2przestajebyćhomeomorfizmem,gdyjegodzie-
dzinęUuzupełnićootwartyodcinekbrzegowyOA(lubOB);Ustajesię
wtedyzbioremnieotwartymijegoobrazemnapłaszczyźniewjestotwarte
kołojednostkowezawierająceodcinekOCbędącyobrazemodcinkaOA.Od-
wzorowaniefjestnadalróżnowartościowe,klasyC1imadodatnijakobian,
punktOnienależybowiemdodziedzinyU,af11niejestciągłe.Punkty
nieciągłościleżąnaodcinkuOCosiOu.Rzeczywiście,każdypunktpotego
odcinkamakołoweotoczenieif11przekształcagórnepółkoletegootoczenia
nazbiórleżącybliskoodcinkaOAwUorazdolnepółkolenazbiórleżący
bliskoodcinkaOB.
Uwaga1.2.Zewzględunaprzejrzystośćtwierdzeniaofunkcjiodwrotnej,ma-
cierzJacobiegozostałazdefiniowanajakomacierzpochodnychodwzorowa-
niaf.Wpraktycemamyzwykledoczynieniazsytuacją,gdyJfznikatylko
napodzbiorachniższegowymiaruniżdziedzinaf.Wówczaswygodniejjestde-
finiowaćjakobianjakowyznacznikmacierzypochodnychf11,np.przyzmianie
zmiennychwcałcewielokrotnejzewspółrzędnychkartezjańskichnasferyczne
wyrażeniepodcałkowemnożonejestprzezjakobian∂(xjgjz)/∂(Tjθj0).Odtąd
przyjmujemykonwencję,żejakobianjestwyznacznikiemmacierzypochodnych
nstarychzmiennych”xiwzględemnnowychzmiennych”gk,
J=det(
∂gk).
∂xi
Wśródodwzorowańciągłychwyróżnionesąhomeomorfizmy,podobnie
wśródodwzorowańróżniczkowalnychwyróżnionesądyfeomorfizmy.
