Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.Wymiarprzestrzeni
35
arctgx=−arctg(−x),arcctgx=π−arcctg(−x)orazarcctgx=arctg1/x
(słusznądlax>0),dostajemyostatecznepostaciodwzorowaniaf11wU
wyrażonejednoliciezapomocąfunkcjiarctg:T=+√x2+g2oraz
kwadrantI:0=arctg
x
g
j
kwadrantII:0=π−arctg
l
l
l
g
x
l
l
l
j
kwadrantIII:0=arctg
g
x
−πj
kwadrantIV:0=−arctg
l
l
l
g
x
l
l
l
.
Wzorytesązgodnenagranicznychpółosiach.
1.7.Wymiarprzestrzeni15
WymiaremprzestrzeniRnnazywamyliczbęwspółrzędnychdowolnegojej
punktu;oczywiściejestonarównan.Tymsamymwymiarprzestrzeniliniowej
jestliczbąwektorówbazowych;stosujesiętorównieżdonieskończeniewy-
miarowychprzestrzenifunkcyjnych,np.doprzestrzeniHilberta.Wwiększości
działówmatematykiiwnaukachścisłychrozpatrujesięprzestrzenie,których
wymiarrównyjestliczbiewspółrzędnychkoniecznychdojednoznacznegozi-
dentyfikowaniakażdegozichpunktów.Sątorozmaitościróżniczkowe.Jednak
pojęciewymiarunieograniczasiędotejklasyprzestrzeniimożnajewprowa-
dzićwszerokiejklasieprzestrzenitopologicznych,aczkolwiekniedlaprzestrze-
ninajogólniejszych.Wymiarjestpojęciemtopologicznym(jestniezmiennikiem
przekształceńtopologicznych)ijakotakijestjednymznajważniejszychpojęć
wmatematyce.Wtejksiążcezajmujemysiętylkorozmaitościamiróżniczko-
wymiiograniczamydominimumstosowanietopologii,toteżpodanietopolo-
gicznejdefinicjiwymiarujestzarównozbędne,jakiniemożliwe.Jednaknawet
wprzypadkurozmaitościpewnewiadomościzteoriiwymiarupozwalajązro-
zumiećlepiejteprzestrzenie,więcwtymmiejscupodamykilkanajprostszych
informacji.
DlaprzestrzeniRnwymiartopologicznypokrywasięzliczbąwspółrzęd-
nych16,czylidimRn=n.Jesttotwierdzenieudowodnionew1911r.przez
wspomnianegojużmatematykaholenderskiegoLuitzenaBrouwera,którego
dowódniejestłatwy.Niejestbowiemoczywiste,żedoidentyfikacjipunktu
wRnpotrzebujemynliczb.WzajemniejednoznaczneodwzorowanieCantora
prostejR1napłaszczyznęR2,wykazującerównolicznośćobuzbiorów,może
byćużytedonumeracjipunktówpłaszczyzny,którawtymsensiemawymiar
15Informacjezawartewtympodrozdzialeniesąpotrzebnewdalszymwykładzie.
16Pozatopologiąogólną,gdzieproblemwymiarujestzłożony,wymiarprostychprzestrzeni
topologicznych,takichjakrozmaitościróżniczkowe,oznaczasięsymbolem„dim”,złacińskiego
dimensio—odmierzanie,rozciągłość,dimetiri—odmierzać,orazzangielskiegodimension—
wymiar.
