Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1

Leszek M. Sokołowski

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-235-1172-4

DOI:

Wydawnictwo:

Uniwersytet Warszawski

Rok wydania:

2010

Liczba stron:

411

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Sokołowski, Leszek M.. Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1. Red. . Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2010, 411 s. ISBN 978-83-235-1172-4

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Sokołowski, L.M.

T1 Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1

PB Uniwersytet Warszawski

PP Warszawa

YR 2010

SN 978-83-235-1172-4

Bibliografia BibTex:

@Book{ 168450, author = "Sokołowski, Leszek M.", editor = "", title = "Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1", publisher = "Uniwersytet Warszawski", year = "2010", address = "Warszawa", isbn = "978-83-235-1172-4" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Sokołowski, Leszek M.

ED -

TI - Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1

PB - Uniwersytet Warszawski

CY - Warszawa

PY - 2010

SN - 978-83-235-1172-4

ER -

Netografia (standard APA):

Sokołowski, Leszek M.. Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1 [baza danych online] Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2010 [dostęp: 03 07 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/elementy-analizy-tensorowej-wydanie-1-leszek-m-sokolowski-168450.

rozmaitość różniczkowa, wektor, tensor

Podręcznik akademicki będący znacznym rozszerzeniem wykładu prowadzonego od wielu lat dla studentów fizyki i astronomii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Zawiera unowocześniony kurs przeznaczony dla wszystkich, którzy używają tensorów w naukach fizycz...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-235-1172-4

DOI:

Wydawnictwo:

Uniwersytet Warszawski

Rok wydania:

2010

Liczba stron:

411

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Przedmowa9
1. Preliminaria13
1.1. Przestrzeń i czasoprzestrzeń w matematyce13
1.2. Wektory na rozmaitości15
1.3. Tensory16
1.4. Przestrzenie Rⁿ i Eⁿ17
1.4.1. Aﬁniczna przestrzeń euklidesowa En21
1.5. Odwzorowania przestrzeni Rⁿ24
1.6. Transformacje współrzędnych29
1.6.1. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie33
1.7. Wymiar przestrzeni35
1.8. Notacja37
2. Rozmaitości różniczkowe39
2.1. Wprowadzenie39
2.2. Deﬁnicja rozmaitości różniczkowej41
2.2.1. Rozmaitość49
2.3. Przykłady rozmaitości gładkich52
2.4. Rozmaitości gładkie w Rⁿ59
2.5. Rozmaitości indukowane i iloczynowe65
2.6. Powierzchnie jednostronne. Wstęga Möbiusa i butelka Kleina67
2.7. Odwzorowania rozmaitości73
2.8. Krzywe gładkie80
2.9. Klasyﬁkacja rozmaitości84
3. Wektory i tensory86
3.1. Geometryczny opis wektora86
3.2. Przestrzeń styczna do Eⁿ89
3.3. Liniowa transformacja współrzędnych w En i zmiana bazy w T_pEⁿ91
3.4. Wektor jako operator różniczkowy93
3.5. Przestrzeń styczna do rozmaitości95
3.6. Gładkie pola wektorowe99
3.7. Wektory kowariantne102
3.8. Pola kowektorów i gradient funkcji105
3.8.1. Graﬁczne przedstawienie kowektora109
3.9. Tensory112
3.10. Składowe i bazy tensorów114
3.11. Pola tensorowe116
3.12. Działania na tensorach121
3.13. Komutator pól wektorowych123
3.14. Tensor metryczny127
3.15. Operacje na tensorach za pomocą metryki136
3.16. Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity139
3.17. Uogólniony symbol Kroneckera145
3.18. Tensory względne148
3.19. Rozmaitości dwuwymiarowe149
3.20. Metryka hiperpowierzchni151
3.20.1. Sfera Sⁿ156
3.21. Przestrzenie hiperboliczne158
3.21.1. Wstęp historyczny158
3.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego159
3.21.3. Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego160
3.21.4. Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej162
3.21.5. Pseudosfera Beltramiego163
3.21.6. Przekształcenia modeli166
3.22. Orientowalność rozmaitości167
4. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego171
4.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów171
4.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów175
4.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych176
4.4. Transformacje czynne i bierne178
4.5. Symetrie i przeniesienie według Liego179
4.6. Pochodna Liego182
4.7. Ogólne własności pochodnej Liego186
4.8. Pochodna Liego tensorów względnych190
4.9. Symetrie194
5. Pochodna absolutna i kowariantna197
5.1. Pochodna absolutna wektora198
5.2. Pochodna kowariantna wektora200
5.3. Transformacje koneksji aﬁnicznej203
5.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora205
5.5. Pochodne wyższych rzędów210
5.6. Pochodne kowariantne tensorów względnych211
5.7. Przestrzeń z koneksją aﬁniczną213
5.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego214
5.8. Przeniesienie równoległe216
5.9. Linie geodezyjne219
5.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji aﬁnicznej224
5.9.2. Interpretacja geometryczna skręcenia koneksji226
5.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzędne riemannowskie228
5.11. Krzywizna przestrzeni232
5.12. Tensor krzywizny233
5.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny241
5.14. Przestrzenie aﬁnicznie płaskie243
5.15. Pochodna Liego koneksji i krzywizny248
6. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna253
6.1. Koneksja metryczna i symetryczna253
6.2. Kowariantne operatory różniczkowe259
6.3. Tożsamości różniczkowe pierwszego rzędu dla metryki263
6.4. Różniczkowanie tensorów względnych i pochodna Liego266
6.5. Geodetyki jako linie najkrótsze267
6.5.1. Form–inwariantność funkcjonału długości273
6.5.2. Ekstremum warunkowe276
6.6. Własności metryczne geodetyk280
6.7. Przykłady linii geodezyjnych285
6.8. Współrzędne normalne riemannowskie295
6.9. Współrzędne normalne geodezyjne Gaussa303
7. Krzywizna i izometrie przestrzeni Riemanna308
7.1. Tensory Riemanna i Ricciego oraz skalar krzywizny308
7.2. Przestrzenie metrycznie płaskie311
7.3. Pola wektorowe kowariantnie stałe313
7.4. Krzywizna przestrzeni w wymiarach 1, 2 i 3315
7.5. Krzywizna przestrzeni S², H², T², S³ i H³318
7.6. Krzywizna przestrzeni wielowymiarowych. Tensor Weyla320
7.7. Czasoprzestrzenie czterowymiarowe324
7.7.1. Przestrzeń de Sittera324
7.7.2. Przestrzeń anty–de Sittera329
7.7.3. Czasoprzestrzenie Robertsona–Walkera331
7.7.4. Płaska fala grawitacyjna333
7.8. Tensory krzywizny i tensory Weyla dla różnych metryk336
7.9. Niezmienniki tensora krzywizny338
7.10. Tożsamości Bianchiego342
7.10.1. Całkowe tożsamości Bianchiego344
7.11. Dewiacja geodezyjna348
7.12. Krzywizna sekcyjna354
7.13. Krzywizna a metryka357
7.14. Izometrie i przestrzenie symetryczne358
7.14.1. Przestrzenie o stałej krzywiźnie360
7.14.2. Jednorodność i izotropowość363
7.14.3. Symetria odbiciowa365
7.15. Wektory Killinga370
7.15.1. Klasyczna konstrukcja wektora Killinga372
7.16. Wyznaczenie izometrii z wektorów Killinga374
7.17. Własności wektorów Killinga376
7.18. Warunki całkowalności równań Killinga384
7.19. Wektory Killinga a jednorodność i izotropowość387
7.20. Przykłady wektorów Killinga390
7.21. Wektory ortogonalne do hiperpowierzchni398
7.22. Izometrie przestrzeni zamkniętych401
Skorowidz404
Skorowidz nazwisk410

1.8.Notacja

Wksiążcestosujemyoznaczeniaprzyjętewpodręcznikachklasycznegora-

chunkutensorowego,gdyżsąonenajbardziejpraktyczne.Współrzędnewdo-

wolnejmapienarozmaitościoznaczamyxi,gdziei=1j2j...jnoraznjestwy-

miaremrozmaitości.Numerwspółrzędnejzapisujemyjakoindeksgórny(zwa-

nykontrawariantnym),copoczątkowomożemylićsięzpotęgąliczbyx,jednak

potęgiróżneodkwadratowejwystępowaćbędąsporadycznie,azaletytegoza-

pisustanąsięoczywiste,gdyprzejdziemydotransformacjitensorów.Rachunek

tensorowybazujenaalgebrzeliniowej,wktórejmamydoczynieniazmacierza-

miowieluwskaźnikachpisanychjakogórnelubdolne(kowariantne),np.Aijk,

Bijkl.Indeksyoznaczoneliteramii,j,k,l,

...zawszeprzebiegająwartościod

1don.Opróczzwykłychmacierzy(tablickwadratowychn×n)oelemen-

tachAijorazBijbędziemyzatemrozważaćmacierze,którychelementyAijk

tworząukładnsześcienny”n×n×noraz,ogólniej,tworzącek–wymiarowy

układmacierzeoelementachAi

1i2...ik(elementówtychjestnk),gdziek>2

jestdowolnąliczbąnaturalną.Jakzobaczymydalej,macierzetesąuporząd-

kowanymizbioramiskładowychtensorównarozmaitości.Elementymacierzy

(Aij)i(Aij)majątesamewartości,natomiastmacierzetereprezentująróżne

tensory,mająbowiemodmienneprawatransformacyjne.Będziemyzajmować

sięteżmacierzamimieszanymioelementachTi1i2...ik

j1j2...jm,kjm>1,wktó-

rychkolejnośćindeksówgórnychidolnychjestważna,tj.Ti

j/=Tji.ZapisTi

jestniejednoznacznyinienależygostosować;wyjątkiemjestdeltaKroneckera

δi

j(późniejpoznamyinnewyjątki).

Funkcję(odwzorowanie)fzargumentem(punktem)poznaczamyzwycza-

jowof(p),jednakwpewnychsytuacjachtanotacjajestdwuznacznaiaby

wyeksponowaćargument,będziemypisaćf|

p.Pochodnecząstkowewielkości

Twzględemwspółrzędnychxibędziemyzapisywaćwpostaciuproszczonej

∂xi

∂T

≡∂iT≡T,i;

notacjatasygnalizuje,żepochodnacząstkowawprowadzaindekskowariantny.

Operacjewykonywanenamacierzachtensorówsąnajczęściejwieloliniowe

ipolegająnamnożeniumacierzylubbraniuichśladu,cosprowadzasiędo

zsumowaniaod1donpowybranejparzelubkilkuparachindeksów.Aby

otrzymanywtensposóbobiektbyłtensorem,czylimiałpoprawnewłasności

transformacyjne,sumowaniejestzawszepojednymindeksiekontrawariantnym

ijednymkowariantnymwdanejparze.

Pisanieznakówwielokrotnychsumwydłużawzoryizmniejszaichczy-

telność,toteżprzyjmujemykonwencjęsumacyjnąEinsteina:jeżeliwjakimś

wyrażeniuwystępujeparajednakowychindeksów,jedengórnyijedendolny,to

potychindeksachnależywykonaćsumowanie,

aib

i:=a1b

1+a2b

2+...+anb

Brak wyników

Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra