Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
1.Preliminaria
1.Dalej,krzywaPeanojestodwzorowaniemodcinka[0j1]wR2,którewy-
pełniajednostkowykwadrat.Toodwzorowaniejestciągłe,lecznieodwracalne
(krzywawielokrotnieprzechodziprzezkażdypunktkwadratu).Gdybywięc
nieżądać,bywymiarbyłinwariantemtopologicznym,tokażdaprzestrzeń
Rnmiałabywymiarjeden.TopologicznadefinicjawymiaruitwierdzenieBro-
uwerawykluczająto.Wynikastądbardzoważnywniosek:nieistniejeod-
wzorowaniehomeomorficzne(wsensietopologii)przestrzeniRnnaRm,gdy
n/=m.
Otym,żenieistniejewzajemniejednoznaczneiobustronnieciągłe(czyli
homeomorficzne)odwzorowanieR1naR2,przekonujemysię,przeprowadzając
prosterozumowanie.Niechistniejetakihomeomorfizmf.Usuwamyzprostej
R1punkt0,wówczasfbędzieodwzorowaniemprzestrzeniX:=R1−{0}
naprzestrzeńY:=R2−{f(0)}.PrzestrzeńXjestniespójna,składasiębo-
wiemzdwóchpółprostychx<0ix>0,natomiastYjestspójna17.Spójność
jestpojęciemtopologicznym,czyliniezmiennikiemprzekształceńhomeomor-
ficznych,XiYniemogąbyćzatemhomeomorficzne,atymsamymniema
homeomorfizmuprostejnapłaszczyznę.
Innymniezmiennikiemtopologicznymjestjednospójnośćprzestrzeni.Prze-
strzeńjestjednospójna,jeżelikażdąlinięzamkniętą(pętlę)możnaściągnąć
(wyobrażamysobie,żepętlajestwykonanazdoskonalekurczliwejgumy)
dopunktu,którynależydotejprzestrzeni.Jednospójnajestpłaszczyzna,
przestrzeńEn,sfera,elipsoida,hiperboloidadwupowłokowa(każdapowłoka
oddzielnie).Niejednospójnyjestwalec,niedasiębowiemściągnąćobejmu-
jącejgopętli,torus,hiperboloidajednopowłokowa,płaszczyznazusuniętym
punktem(zndziurą”),przestrzeńE3,zktórejusuniętoprostąlubkrzywąza-
mkniętą,itd.Zapomocątegopojęciałatwomożnawykazać,żenieistnieje
homeomorfizmR2naR3.Jesttoponownierozumowanieniewprost.Zpłasz-
czyznyusuwamyjedenpunkt,np.(0j0).Gdybytakihomeomorfizmistniał,to
obrazempłaszczyznybezpunktubyłabyprzestrzeńR3bezpewnegopunktu.
ZbiórR2−{(0j0)}jestspójny,leczniejednospójny(pętliobejmującej(0j0)
niemożnaściągnąćdopunktu),natomiastR3zusuniętymjednympunktem
jestoczywiściejednospójna.Podobnychargumentówmożnaużyćwwyższych
wymiarach.
Ztegorozumowaniawynika,żeprzestrzeńRnmapewnąwłasność,która
jestniezmiennikiemprzyprzekształceniachhomeomorficznych.Zidentyfikowa-
nietejwłasnościinadaniejejdefinicjipasującejdoszerokiejklasyprzestrzeni
topologicznychzajęłomatematykomkilkadziesiątlat—jestniąwłaśniewy-
miartopologicznywprowadzonywnajprostszejwersjiw1922r.niezależnie
przezKarlaMengeraiPawłaUrysohna.
17Przypominamy,żezbiórotwartywRnjestspójny,jeżeliniemożnagoprzedstawićwpostaci
sumymnogościowejdwóchzbiorówotwartych,któresąrozłączne,tj.ichczęśćwspólnajestzbiorem
pustym.
