Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.Rozmaitościróżniczkowe
2.1.Wprowadzenie
Przedzdefiniowaniemrozmaitościpodamyprostąmetodękonstruowania
pewnychklastychprzestrzeniiwskażemyichwspólnącechęstanowiącąpod-
stawętejdefinicji.NajpierwweźmiemywprzestrzeniE3powierzchnienie-
ograniczone,takiejakpłaszczyzna,powierzchniablachyfalistej,walec,sto-
żek,paraboloida,hiperboloidajedno–idwupowłokowa,powierzchniasiodłowa
itd.Następniekonstruujemynieskończonyciągpowierzchnizamkniętych,czy-
liograniczonychrozmiarówibezbrzegu(krawędzi),rys.2.1.Bierzemysferę
S2,wycinamywniejkolistyotwór(kolistośćjestdlaprostotyiniemazna-
czenia)iwzdłużjegokrawędziprzyklejamynucho”(uchwyt,rączkę),takby
powstałocośnakształtciężarkadlaatlety.Modeltakiejpowierzchniwykona-
nyzelastycznejgumymożemypoddawaćdowolnymprzekształceniomhome-
omorficznym:rozciąganiuwjednychmiejscachikurczeniuwinnych,leczbez
rozcinaniaisklejania.Względnerozmiarysferyiuchaorazpowierzchniwten
sposóbznichutworzonychsąnieistotne.Sferazuchemjesthomeomorficz-
na(topologicznie1identycznawwynikuodkształceń)ztorusem(dętką),apo
odpowiednimwgnieceniusfery—zfiliżanką.Wycinającwsferzedwaotwory
iwklejającwkażdyznichucho,otrzymamypowierzchnię,którąmożnazde-
formowaćw(awięchomeomorficznąz)precel(nósemkę”).n+1–elementem
tegociągujestsferaznuchami,n=1j2j...Wszystkietepowierzchniesąto-
pologicznienierównoważnezesobą.Później,gdyskonstruujemypowierzchnie
jednostronne,podamydruginieskończonyciągdwuwymiarowychpowierzchni
zamkniętych,którenniemieszcząsię”wE3.
Powyższeprzykładypokazują,żeróżnorodność2–wymiarowychpowierzch-
nijestogromna,ajeszczewiększejestbogactwoanalogicznychhiperpowierzch-
niwprzestrzeniachwielowymiarowych.Mająonejednąwspólnącechę:każ-
dydostateczniemałykawałek(hiper)powierzchniwyglądajakmałykawałek
1Tutajprzezwłasnościtopologicznerozumiemycechybadanewtopologiialgebraicznej(lubwęziej
—topologiigeometrycznej),czylitewłasnościfiguricałychprzestrzeni,któreniezmieniająsięprzy
przekształceniachobustronnieciągłych.
