Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Pochodnecząstkowe.Różniczkafunkcji
21
nazywamypochodnymicząstkowymidrugiegorzędufunkcjifnazbiorzeD
ioznaczamyprzez
B
B
2
x
f
2
BB
B
xy
2
f
BB
B
yx
2
f
,
B
B
2
y
2
f
lubprzez
f
xx
"
f
xy
"
f
yx
"
,
f
yy
"
,
,
,
,
Analogicznieokreślasiępochodnecząstkowedrugiegorzędufunkcjitrzech
zmiennychnazbiorzeotwartymw
R.
3
Definicja2.6
Pochodnecząstkowe
B
2
f
,
B
2
f
różniącesięmiędzysobątylkokolejnością
BB
xy
BB
yx
różniczkowanianazywamypochodnymimieszanymi.
Twierdzenie2.1(twierdzenieSchwarza)
Jeżelifunkcjafmaciągłepochodnecząstkowemieszanedrugiegorzędunapew-
nymobszarze,tosąonerównewkażdympunkcietegoobszaru
BB
B
xy
2
f
(
xy
)
±
BB
B
yx
2
f
(
xy
,
)
,
(2.8)
Prawdziwebędąanalogicznerównościdlapochodnychmieszanychdrugiegorzędu
funkcjitrzechzmiennych.
Definicja2.7
Niechfunkcjafmapochodnecząstkowerzędu
n2
2
przynajmniejnaotoczeniu
Oxy.Pochodnecząstkowewpunkcie
(
0
,
0
)
(
xy
0
,
0
)
pochodnychcząstkowych
rzędunfunkcjifnazywamypochodnymicząstkowymirzędu
n+
1
funkcjif
wpunkcie
(
xy.
0
,
0
)
Jeżelifunkcjafmapochodnecząstkowerzędunwkażdympunkciezbioruotwar-
tego,tomówimy,żenatymzbiorzeokreślonesąpochodnecząstkowerzędun
funkcjif.
Pochodnącząstkowąn-tegorzędufunkcjifpowstałąwwynikuk-krotnegoróżnicz-
kowaniawzględemzmiennejxinastępniel-krotnegoróżniczkowaniawzględem
zmiennejy,gdziekl
+±oznaczamyprzez:
n
BB
B
yx
l
n
f
k
(
xy
,
)
(2.9)
