Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Przyjmującδ=2ε,dostajemy
|√x−2|<1
2·|x−4|<1
2·δ=1
2·2ε=εj
oiletylko|x−4|<δ.
Ostatecznie,zgodniezdefinicjąCauchy’egogranicyfunkcjiwpunkciedosta-
jemy
x→4
lim
√x=2.
I
Własność1.1
Niechfunkcjefigmajągranice(właściwe)wpunkciexo∈R.Wówczas:
i)lim
x→xo(c·f(x))=c·lim
x→xo
f(x),c∈R,
ii)lim
x→xo(f(x)+g(x))=lim
x→xo
f(x)+lim
x→xo
g(x),
iii)lim
x→xo(f(x)−g(x))=lim
x→xo
f(x)−lim
x→xo
g(x),
iv)lim
x→xo(f(x)·g(x))=lim
x→xo
f(x)·lim
x→xo
g(x),
lim
f(x)
v)lim
x→xo
f(x)
g(x)=
x→xo
x→xo
lim
g(x),oileg(x)/=0orazlim
x→xo
g(x)/=0.
1.1.2.Granicejednostronnefunkcji
Pojęciegranicyfunkcjiwpunkciexomożemyrozważać,badającosobnozacho-
waniefunkcjidlaargumentówmniejszychodxoiwiększychodxo,czylizlewej
iprawejstronypunktuxo.
Niechf:G→Rbędziepewnąfunkcją,xopunktemskupieniazbioruG.
Mówimy,żeliczbagjestgranicąlewostronną(rys.1.5)(odpowiednio:granicą
prawostronną(rys.1.6))funkcjifwpunkciexo,jeślidlakażdegociągu(xn)n∈N
elementówzbioruGzbieżnegodoxoitakiego,żexn<xo(odpowiednio:xn>xo)
dlakażdegon∈N,ciągwartości(f(xn))
n∈N
jestzbieżnydog.Podanadefinicja
jestdefinicjągranicylewostronnej(odpowiednio:granicyprawostronnej)funkcji
wpunkciewsensieHeinego.
RównoważnadefinicjaCauchy’egojestnastępująca.Liczbagjestgranicąle-
wostronną(odpowiednio:granicąprawostronną)funkcjifwpunkciexo,jeślidla
każdegoε>0istniejeliczbaδ>0taka,żedlakażdegoelementux∈Gzachodzi
implikacja
xo−δ<x<xo⇒|f(x)−g|<ε
(odpowiednio:xo<x<xo+δ⇒|f(x)−g|<ε).
