Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Zauważmy,żedlaargumentówxzprzedziału(−1j1)funkcjęfmożemyzapisać
następująco
f(x)={
0dlax∈(−1j0)
1dlax∈[0j1)
.
Azatem
x→o1
lim
f(x)=lim
x→o1
0=0oraz
x→o+
lim
f(x)=lim
x→o+
1=1.
Ponieważgranicejednostronnesąróżne,więcgranicalimx→of(x)nieistnieje.I
1.1.3.Ciągłośćfunkcji
Niezwykleważnympojęciemwmatematycejestpojęcieciągłościfunkcjiwpunkcie
iogólniej,ciągłościfunkcji.
Zaczniemyodszczególnegoprzypadku.Niechf:(ajb)→Rbędziepewną
funkcjąokreślonąnaprzedziale(ajb)orazxo∈(ajb).Wpoprzednichpunktach
zajmowaliśmysięistnieniemgranicy
x→xo
lim
f(x)j
którabadazachowaniefunkcjiwpobliżupunktuxo.Ponieważpunktxojestpunk-
temskupieniazbioru(ajxo)∪(xojb),więcpojęciegranicyfunkcjiwpunkciexoma
sens.Zauważmy,żeinaczejniżwdefinicjigranicyfunkcjizakładamy,żepunktxo
należydodziedzinyfunkcjif.Możemywięcobliczyćwartośćf(xo).Jeśliwartość
tajestrównagranicyfunkcjiwtympunkcie,oiletagranicaistnieje,tzn.
x→xo
lim
f(x)=f(xo)j
tomówimy,żefunkcjafjestciągławpunkciexo(rys.1.10).
f(x0)
y
0
a
x0
b
x
Rysunek10100Ciągłośćfunkcjif
wpunkciexo
Jeślidziedzinafunkcjifniejestprzedziałem,tylkodowolnymzbioremG,
tociągłośćmusimyzdefiniować,korzystajączwarunkuHeinegolubCauchy’ego,
