Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Pokażemyteraz,żefniejestciągławżadnyminnympunkcie.Pokażemynawet
więcej,żewżadnyminnympunkciefunkcjafniemagranicy.Ustalmyxo/=0.
Niech(x/
n)n∈Noraz(x//
n)n∈Nbędądwomaciągamipunktówzbieżnymidoxotaki-
mi,żex/
n∈Qorazx//
n/
∈Qdlakażdegon∈N(takieciągiistnieją).Wówczas
n→∞
lim
f(x
/
n)=lim
n→∞
x
/
n=xo
oraz
n→∞
lim
f(x
//
n)=lim
n→∞
0=0.
Ponieważxo/=0,więcobiepowyższegranicesąróżne,codowodzi,żegranica
limx→x
of(x)nieistnieje.
I
1.1.4.Graniceniewłaściwefunkcjiwpunkcie,asymptotypionowe
Przykład1.4.Niechf:R\{0}→Rbędziefunkcjąokreślonąwzoremf(x)=1
x2.
Pomimo,żewpunkciex0=0funkcjafniejestokreślona,możemypytaćozachowanie
funkcjidlaargumentówxcorazbliższychpunktux0=0.Kilkawartościfunkcjifdla
x/=0zostałozebranychwponiższejtabeli.
Tabela1020Tabelaczęściowawartościfunkcjif(x)=
x2
1
f(x)
x
−1
1
−0j1−0j01
100
100001000000
−0j001
0
1000000
0j001
10000
0j01
0j1
100
1
1
y
O
y=1
x2
x
Rysunek10150
Zauważmy,żebiorącargumentyxcoraz„bliższe”liczbie0,odpowiadająceimwartości
funkcjifsącorazwiększei„dążą”do∞(rys.1.15),cozapisujemysymbolicznie
x→0
lim
f(x)=∞.
I
