Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Własnościgranicyfunkcji
35
1.2.Własnościgranicyfunkcji
Wpoprzednimpodrozdzialeobliczaliśmygłówniegranicefunkcjiwprostzdefini-
cji.Terazpokażemy,jakobliczaćgraniceróżnychfunkcji,korzystajączpodstawo-
wychichwłasnościorazzciągłościfunkcjielementarnych.Każdagrupaćwiczeń
jestpoprzedzonaodpowiedniąwłasnościągranicyfunkcji.
Własność1.7(ogranicyfunkcjizłożonej)
Niechf:G→Rig:H→R,przyczymf(G)⊂H.Jeślilimx→x
of(x)=
yoorazlimy→y
og(y)=A,gdziexojestpunktemskupieniazbioruGorazyo
punktemskupieniazbioruH,to
x→xo
lim
g(f(x))=A.
Wszczególności,jeśligjestfunkcjąciągłą,todladowolnegopunktuxo∈G
x→xo
lim
g(f(x))=g(lim
x→xo
f(x))j
oilegranicalimx→x
of(x)∈H.
Uwaga1.9.Powyższąwłasnośćmożemyrównieżstosowaćdoobliczaniagranicy
przyx→−∞,x→∞orazgranicjednostronnych,tzn.gdyx→x1
olubx→x+
o.
Uwaga1.10(zamianazmiennych).Zauważmy,żewłasność1.7możemywyrazićna-
stępująco
y→yo
lim
g(y)=lim
x→xo
g(f(x)).
(1.3)
Powyższywzórnazamianęzmiennychstosujemywpraktyce,zastępującgra-
nicępoprawejstronierówności(1.3)granicąpolewejstronietejrówności.Do-
kładniej,abyobliczyćgranicę
x→xo
lim
g(f(x))
przyjmujemyy=f(x).Wówczas,jeślix→xo,tozrównościlimx→x
of(x)=yo
mamyy→yo.Wtedyobliczeniedanejgranicysprowadzasiędoobliczeniagranicy
y→yo
lim
g(y).
Wwieluprzypadkachfunkcjafjestfunkcjąciągłąiwtedyyo=f(xo).
