Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
WYKŁAD3
Strukturyalgebraiczne
Odwzorowanief:A
2→A,gdzieA≠∅,nazywamydziałaniem(we-
wnętrznym)wzbiorzeA.
Dozapisuwynikudziałaniabędziemyużywalisymboligraficznych,np.
elementf(a,b),któryjestobrazemparyuporządkowanej(a,b)będziemy
oznaczać:a
b,a⊕b,a*b,a#b,
...
Przykład1.Przykładamidziałańwewnętrznychsą:
a)dodawanieimnożeniewzbiorzeN;
b)dzieleniewzbiorzeQ\{0};
c)działanieokreślonewzoremm⊕k
(m
k)modn(resztazdzielenia
m
przezn)wzbiorzeZ
n
kprzezn)lubwzoremm⊗k
(mk)modn(resztazdzieleniamk
{0,1,2,
...,n1};
d)tworzenieuniilubprzekrojuzbiorówwprzestrzeni2
Ω.
NiepustyzbiórAwrazzokreślonymwnimdziałaniem#nazywamygru-
poidemioznaczamysymbolem(A,#).
Działanie#jestłączne(asocjatywne),jeżeli
va,b,cEA:(a#b)#c
a#(b#c).
Działanie#jestprzemienne(komutatywne),jeżeli
va,bEA:a#b
b#a.
Grupoid(A,#),wktórymdziałanie#jestłącznenazywamypółgrupą,
ajeślidodatkowodziałanietojestprzemienne,topółgrupąprzemienną.
Przykład2.Wykazać,żepara(X,·),gdzieX
półgrupąprzemienną.
{xEN:∃kEN:x
2
k}jest
2
k,y
2
m,
DziałaniemnożeniajestwewnętrznewzbiorzeX,bojeślix
k,mEN,tox·y
2
k2m
2
kmEX,ponieważk
mEN.
Wykorzystującprzemiennośćdodawaniawzbiorzeliczbnaturalnych,mamy:
vx,yEX:x·y
jestprzemiennewzbiorzeX.
2
k2m
2
km
2
mk
2
m2k
y·x,czylidziałaniemnożenia
22
