Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Ciałem(oznaczanymprzezK)nazywamypierścieńunitarnybezdzielni-
kówzera,wktórym(A
{e},*)jestgrupą(tzn.każdyelementróżnyod
elementuneutralnegomaelementsymetrycznywzględemdziałania*).
ElementyciałaKnazywamyzwykleskalarami,awszczególności
liczbami.
Przykładyciał:(Q,
,·,0,1),(ℜ,
,·,0,1),(Z
5,⊕,⊗,0,1).
Homomorfizmstruktur
NiechS
(A,#
1,#
2)iS
′
(B,*1,*2)będądwiemastrukturamitegosamego
typu(dwagrupoidy,dwapierścienieitp.).
Odwzorowanieh:A→Bspełniającewarunki:
va,bEA:h(a#
ib)
h(a)*ih(b),i
1
lub
i
1,2,
nazywamyhomomorfizmemstrukturySwstrukturęS′.
Jeślihjestbijekcją,totakihomomorfizmnazywamyizomorfizmem.
Dwiestrukturyalgebraiczne,dlaktórychistniejeizomorfizmuważamyza
równoważne,borelacja„byćhomomorficznym”jestrelacjąrównoważności.
Przykład4.Grupy(ℜ,·)i(ℜ,)sąizomorficzne,boodwzorowanielog:ℜ→ℜ
jestbijekcjąspełniającąwarunek:vx,yEℜ:log(x·y)
logx
logy.
3
Ćwiczenia
1.Sprawdzić,jakąstrukturętworząpary:
a)(X,*),gdzieXjestrodzinąprzekształceńhomograficznychpostaci:
x→y
ax
b
,x,y,a,b,c,dEℜ,ad
bc≠0,działanie*jest
składaniemprzekształceń;
cx
d
b)(ℜ,#),gdzievx,yEℜ:x#y
x
y;
c)(X,·),gdzieX
{xEℜ:x
a
b
3
,a,bEQ,a2
b
2≠0};
d)(ℜ∪{0},#),gdzievx,yEℜ:x#y
|x
y|;
e)(ℜ,⊕),gdzievx,yEℜ:x⊕y
2
k,kEZ};
x
2
y
;
f)(X,·),gdzieX
g)(Z
następująco:a⊕b
n,⊕),gdzieZ
n
{xEQ:x
(a
b)modn
{0,1,2,
...,n
1},adziałanie⊕określonejest
resztazdzieleniaa
bprzezn
(porównajPrzykład1c).
25
