Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wykorzystującłącznośćdodawaniawzbiorzeliczbnaturalnych,mamy:
vx,y,zEX:v(x·y)·z
2
k(2m2n)
(2
k2m)2n
2
km2n
2
(km)n
2
k(mn)
2
k2mn
x·(y·z),czylidziałaniemnożeniajestłącznewzbiorzeX.Tak
więcpara(X,·)jestpółgrupąprzemienną.
ElementeEAnazywamyelementemneutralnymwgrupoidzie(A,#),
jeżeli:
vaEA:e#a
a#e
a.
Grupoid(półgrupę)(A,#),wktórymistniejeelementneutralnye,nazywa-
mygrupoidemunitarnym(półgrupąunitarną)ioznaczamysymbolem
(A,#,e).
Twierdzenie1
Każdygrupoidunitarnymatylkojedenelementneutralny.
Dowód.Przypuśćmy,żewgrupoidzie(A,#,e)istniejądwaelementyneutral-
neeie′.Wtedynapodstawiedefinicjielementuneutralnegomamy
e
e#e′
e′#e
e′.♦
ElementemsymetrycznymdoelementuaEAwgrupoidzieunitarnym
(A,#,e)nazywamytakielementa′EA,dlaktóregozachodzirówność:
a′#a
a#a′
e.
Twierdzenie2
Jeżeliwpółgrupieunitarnej(A,#,e)istniejeelementsymetrycznydo
danego,totylkojeden.
Dowód.Załóżmy,żedladanegoelementuaEAistniejądwaelementysy-
metrycznea′iafl.Mamywtedyimplikację:(a#a′
e)ż(afl#(a#a′)
afl#e
e#a′
a′,stąda′
afl.♦
afl).Złącznościdziałaniawynika,że:afl#(a#a′)
(afl#a)#a′
Półgrupęunitarną,wktórejkażdyelementmaelementsymetrycznynazy-
wamygrupą.Jeśliwgrupiedziałaniejestprzemienne,tonazywamyją
grupąabelową(przemienną).
{...,2
3,
Przykład3.Sprawdzić,jakąstrukturęalgebraicznątworzyzbiórA
2
2,21,1,2,4,8,
...},wktórymdziałaniemjestmnożenie.
2
lib
2
k(l,kEZ)ze
Mnożeniejestwewnętrznewtymzbiorze,bodlaa
zbioruAotrzymamy:
ab
2
l2k
2
lk
czyliabjestelementemzbioruA(k
ljestliczbącałkowitą).
23
3
