Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3Działaniemnożeniajestłączneiprzemiennewℜ,jestwięcprzemienne
iłącznewA.
Wzbiorzetymistniejeelementneutralnye
1
2
0.Wykażemy,żekażdy
elementwzbiorzeAmaelementsymetryczny.Dladowolnegoelementu
a
aa′
a
2
2
kEA
kjestelementa′
2
k2k
2
(kEZ)
kk
2
0
istnieje
a′
2
kEA
(bo
kEZ)
takie,
że
1,czylielementemsymetrycznymdoelementu
2
k.TakwięczbiórAzdziałaniemmnożeniajest
grupąabelową.
Przykładygrupabelowychto:(Z,
,0),(Q,·,1),(Z
n,⊕
dodawaniemo-
dulon,0),(zbiórbijekcjifEAB,składanieodwzorowań,id).
WpodstawowychzbiorachN,Z,Q,ℜzdefiniowanemamydwadziałania:
dodawaniaimnożenia.Częstodladowolnychzbiorówidziałańużywasiętej
samejterminologiiisymboliki.Walgebrzestosujesiętzw.notacje:
addytywną,wktórejsymbolemdziałaniazwanegododawaniemjest„”,
elementneutralnynazywasięzerem,aelementsymetryczny
przeciwnym;
multiplikatywną,wktórejsymbolemdziałaniazwanegomnożeniemjest
„·”,elementneutralnynazywamyjedynką,aelementsymetryczny
od-
wrotnym.
Pierścieniemnazywamytrójkę(A,#,*),gdzie#,*sądziałaniamiwe-
wnętrznymijeślispełnionesąwarunki:
1.(A,#,e)jestgrupąabelową;
2.(A,*)jestpółgrupą;
3.działanie*jestrozdzielne(dystrybutywne)względem#,tzn.
va,b,cEA:(a#b)*c(a*c)#(b*c).
Jeślipółgrupa(A,*)jestunitarna,topierścieńnazywamyunitarnym,
ajeślidziałanie*jestprzemienne,topierścieńnazywamyprzemiennym
(komutatywnym).
Przykładypierścieni:(Z,
,·,0)
pierścieńunitarnyprzemienny,
(zbiórwielomianów,dodawaniewielomianów,mnożeniewielomianów,
wielomianzerowy)
pierścieńunitarnyprzemienny,
(Z
n,⊕,⊗,0),gdziedziałaniasąokreślonewPrzykładzie1c
pierścień
unitarnyprzemienny.
Uwaga1.Wpierścieniumogąwystępowaćelementya,bróżneodelementu
neutralnegowzględemdziałania#,dlaktórych:a*b
elubb*a
e.Ele-
mentytenosząnazwędzielnikówzera.Pierścieńbezdzielnikówzeranazy-
wamypierścieniemcałkowitym.Przykładempierścieniazdzielnikamizera
jestpierścieńunitarnyprzemienny(Z
6,⊕,⊗,0),bo2⊗3
(2·3)mod6
0.
24
