Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
PRZYKŁAD4
Wyznaczmypunkty,wktórychfunkcjaf(z)=ctgzjestnieciągła.
Rozwiązanie:Napoczątekzapiszmy
f(z)=ctgz=
cosz
sinz
.
Wprzykładzie3wykazaliśmy,żefunkcjaeiz(atymsamyme–iz)jestwszędzieciągła.Wynika
stąd,żerównieżfunkcjecosz=(eiz+e–iz)/2orazsinz=(eiz–e–iz)/2isąciągłewszędzie.
Funkcjactgzjestzatemciągławszędziezwyjątkiempunktów,wktórychsinz=0,awięc
punktów0,±π,±2π,...(zadanie14).
ZADANIADOPODROZDZIAŁU18.1
Pierwszedziewięćzadańmaprzypomniećzagadnieniarozważanewrozdziale4.
1.Wykaż,że
ł
ł
ł
ł
z–i
z+i
ł
ł
ł
ł
<1,gdyImz>0.
2.Przedstawfunkcjęeiazwpostaciu+iv.Załóż,żeajestliczbąrzeczywistą.
3.Opiszgórnąpołowękoła(x–x0)2+(y–y0)2≤R2zapomocązmiennejzespolonejz.
4.Wyznaczwszystkieargumentyliczbz1,z2,z1z2orazz1/z2dlaz1=1+iorazz2=1–i.
5.Wykaż,żeargz1z2=argz1+argz2orazżeArgz1z2niemusibyćrównyArgz1+Argz2.
6.Wykaż,żesiniz=isinhz.
7.Wykaż,żesinz=sinxcoshy+icosxsinhy.
8.Wykaż,żesin2z+cos2z=1.
9.Wyznaczwartościln(1+i).
10.Niechw=f(z)=z3.Wyznaczf(2+i).
11.Wykaż,wyznaczającbezpośredniou(x,y)iv(x,y),żefunkcjaf(z)=z1/2jestwielowar-
tościowa.
12.Wyznacz
z→1+2i(x2+y3+isin
lim
πy
2).
13.Wyznaczlim
z→∞
1+iz
z
.Wskazówka:Przyjmijz=1/ηiobliczgranicęprzyη→0.
14.Wykaż,żewszystkiemiejscazerowefunkcjisinzsąrzeczywisteirównenπ,gdzie
n=0,±1,±2,...
15.Przedstawf(z)=z2+(z∗)2wpostaciw=u+iv.
16.CzyfunkcjaArgzjestjednowartościowa?Afunkcjaargz?
17.Wyznaczlim
z→ixexy+ie
x+1.
xy
